Ядерная норма

следовая норма,- норма в пространстве N(X, Y) ядерных операторов, отображающих банахово пространство Xв банахово пространство Y. Пусть X, Y - банаховы пространства над полем действительных или комплексных чисел, L(X, Y) - пространство всех непрерывных линейных операторов, отображающих Xв Y, F(X, Y) - линейное подпространство, состоящее из операторов конечного ранга (т. е. операторов с конечномерным образом). Банахово сопряженное пространство к Xобозначается X', значение функционала [img: http://localhost:8080/file/053301-31.jpg] на векторе [img: http://localhost:8080/file/053301-32.jpg] обозначается <x, х'>. Каждый ядерный оператор [img: http://localhost:8080/file/053301-33.jpg] допускает представление в виде [img: http://localhost:8080/file/053301-34.jpg] где {x'i}и {yi} - такие последовательности в X' и Y соответственно, что [img: http://localhost:8080/file/053301-35.jpg] такие представления наз. ядерными. Величина [img: http://localhost:8080/file/053301-36.jpg] где точная нижняя грань берется по всевозможным ядерным представлениям вида (1), наз. ядерной нормой оператора А. Эта норма превращает N(X, Y) в банахово пространство, к-рое содержит F(X, Y) в качестве плотного линейного подпространства. Если [img: http://localhost:8080/file/053301-37.jpg] то сопряженный оператор А' содержится в N'(Y, X')и [img: http://localhost:8080/file/053301-38.jpg] Пусть [img: http://localhost:8080/file/053301-39.jpg] - обычная операторная норма в L(X, Y). Тогда [img: http://localhost:8080/file/053301-40.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/053301-41.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/053301-42.jpg], то [img: http://localhost:8080/file/053301-43.jpg] [img: http://localhost:8080/file/053301-44.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/053301-45.jpg] если [img: http://localhost:8080/file/053301-46.jpg] [img: http://localhost:8080/file/053301-47.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/053301-48.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/053301-49.jpg] Любой оператор [img: http://localhost:8080/file/053301-50.jpg] представим в виде [img: http://localhost:8080/file/053301-51.jpg] Величина [img: http://localhost:8080/file/053301-52.jpg] где точная нижняя грань берется по всевозможным конечным представлениям вида (3), наз. конечной ядерной нормой оператора F. Пространство F(X, Y)можно отождествить с тензорным произведением [img: http://localhost:8080/file/053301-53.jpg] При этом оператору Fвида (3) соответствует элемент [img: http://localhost:8080/file/053301-54.jpg] и конечная Я. н. (4) переходит в норму [img: http://localhost:8080/file/053301-55.jpg] где точная нижняя грань берется по всем конечным представлениям элемента ив виде (5). Эта норма наз. тензорным (или скрещенным) произведением норм в Y и в X'. Пополнение [img: http://localhost:8080/file/053301-56.jpg] по норме (6) обозначается [img: http://localhost:8080/file/053301-57.jpg] Отображение [img: http://localhost:8080/file/053301-58.jpg] [img: http://localhost:8080/file/053301-59.jpg] при к-ром элемент (5) переходит в оператор (3), продолжается до непрерывного линейного оператора [img: http://localhost:8080/file/053301-60.jpg] Образ оператора Г совпадает с N(Х, Y). Если отображение Г устанавливает взаимно однозначное соответствие между [img: http://localhost:8080/file/053301-61.jpg] и N(X, Y), тo(X, Y)совпадает с замыканием F(X, Y) по норме (4); в этом случае сужение Я. н. на F(X, Y) совпадает с конечной Я. н. Однако в общем случае оператор Г может иметь нетривиальное ядро, так что Я. н. является результатом факторизации нормы в [img: http://localhost:8080/file/053301-62.jpg] (см. Ядерный оператор). Пусть X=Y=H, где H - сепарабельное гильбертово пространство; L(H)=L(H, Н)- алгебра ограниченных операторов в Н, L1(H)=N(H, Н)- идеал ядерных операторов в L(H). В этом случае отображение Г взаимно однозначно, для операторов конечного ранга Я. н. совпадает с конечной Я. н. и каждый оператор [img: http://localhost:8080/file/053301-63.jpg] имеет след trA(см. Ядерный оператор). Я. н. оператора [img: http://localhost:8080/file/053301-64.jpg] совпадает с величиной [img: http://localhost:8080/file/053301-65.jpg] где А *- сопряженный к Аоператор в H. Я. н. связана с Гильберта-Шмидта нормой [img: http://localhost:8080/file/053301-66.jpg] неравенством [img: http://localhost:8080/file/053301-67.jpg] Общий вид линейного непрерывного функционала в банаховом пространстве L1(H) дается формулой [img: http://localhost:8080/file/053301-68.jpg] где В - произвольный оператор из L(Н). причем норма функционала (7) совпадает с ||B||. Следовательно, L(H)изометрично пространству, сопряженному к L1(H). Формула (7) дает общий вид линейного функционала и на замкнутом подпространстве [img: http://localhost:8080/file/053301-69.jpg] в L(H), состоящем из всех вполне непрерывных (компактных) операторов; при этом [img: http://localhost:8080/file/053301-70.jpg] а Впробегает Ll(H). При этом норма функционала (7) совпадает с [img: http://localhost:8080/file/053301-71.jpg] т. е. пространство ядерных операторов L1(H)с Я. н. изометрично пространству, сопряженному к [img: http://localhost:8080/file/053301-72.jpg] в обычной операторной норме. Перечисленные результаты допускают нетривиальные обобщения на случай операторов в банаховых пространствах. Пример. Пусть X=Y=ll - пространство суммируемых последовательностей. Оператор [img: http://localhost:8080/file/053301-73.jpg] содержится в N(l1,l1)тогда и только тогда, когда существует такая бесконечная матрица [img: http://localhost:8080/file/053301-74.jpg] что A переводит последовательность [img: http://localhost:8080/file/053301-75.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/053301-76.jpg] В этом случае [img: http://localhost:8080/file/053301-77.jpg]