Ядерное пространство

локально выпуклое пространство, у к-рого все линейные непрерывные отображения в каждое банахово пространство являются ядерными операторами. Понятие Я. п. возникло [1] при исследовании вопроса о том, для каких пространств справедливы аналоги теоремы Шварца о ядре (см. Ядерная билинейная форма). Основополагающие результаты теории Я. и. принадлежат А. Гротендику [1]. Употребительные в анализе функциональные пространства, как правило, являются банаховыми или Я. п. Важную роль играют Я. п. в спектральном анализе операторов в гильбертовых пространствах (построение оснащенных гильбертовых пространств, разложения по обобщенным собственным векторам и т. п.) (см. [2]). Я. п. тесно связаны с теорией меры на локально выпуклых пространствах (см. [3]). Удается охарактеризовать Я. п. в терминах инвариантов типа размерности (аппроксимативная размерность, диаметральная размерность и др.) (см. [2], [4], [5]). Одним из таких инвариантов является функциональная размерность, к-рая для многих пространств, состоящих из целых аналитич. ф-ций, совпадает с числом переменных, от к-рых зависят эти функции (см. [2]). По своим свойствам Я. п. приближаются к конечномерным пространствам. Каждое ограниченное множество в Я. п. предкомпактно. Если Я. п. полно (или хотя бы квазиполно, т. е. каждое замкнутое ограниченное множество является полным), то оно полурефлексивно (т. е. второе сопряженное к этому пространству совпадает с ним по запасу элементов) и каждое замкнутое ограниченное множество в нем является компактным. Если квазиполное Я. п. является бочечным пространством, то оно является и Монтеля пространством (в частности, рефлексивно); всякая слабо сходящаяся счетная последовательность в таком пространстве сходится и в исходной топологии. Нормированное пространство ядерно тогда и только тогда, когда оно конечномерно. Каждое Я. п. обладает свойством аппроксимации: любой непрерывный линейный оператор в таком пространстве можно приблизить в операторной топологии предкомпактной сходимости операторами конечного ранга (т. е. непрерывными линейными операторами с конечномерными образами). Тем не менее существуют ядерные Фреше пространства, не обладающие свойством ограниченной аппроксимации: в таком пространстве тождественный оператор не является пределом счетной последовательности операторов конечного ранга в сильной или слабой операторной топологии [6]. Построены Я. п. Фреше без базиса Шаудера, причем такие пространства могут иметь сколь угодно малую диаметральную размерность, т. е. в нек-ром смысле могут быть сколь угодно близкими к конечномерным [7]. Для Я. п. построен и контрпример к проблеме инвариантного подпространства: в нек-ром ядерном пространстве Фреше указан непрерывный линейный оператор, не имеющий нетривиальных замкнутых инвариантных подпространств [8]. Примеры Я. п. 1) Пусть [img: http://localhost:8080/file/053301-107.jpg] - пространство всех (действительных или комплексных) бесконечно дифференцируемых функций на [img: http://localhost:8080/file/053301-108.jpg] наделенное топологией равномерной сходимости со всеми производными на компактных подмножествах в [img: http://localhost:8080/file/053301-109.jpg] Сопряженное к [img: http://localhost:8080/file/053301-110.jpg] пространство [img: http://localhost:8080/file/053301-111.jpg] состоит из всех обобщённых функций с компактным носителем. Пусть [img: http://localhost:8080/file/053301-112.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/053301-113.jpg] - линейные подпространства в [img: http://localhost:8080/file/053301-114.jpg] состоящие соответственно из функций с компактным носителем и из функций, убывающих при [img: http://localhost:8080/file/053301-115.jpg] вместе со всеми производными быстрее любой степени | х|-1. Сопряженные к [img: http://localhost:8080/file/053301-116.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/053301-117.jpg] относительно стандартной топологии пространства [img: http://localhost:8080/file/053301-118.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/053301-119.jpg] состоят соответственно из всех обобщенных функций и всех обобщенных функций медленного роста. Пространства [img: http://localhost:8080/file/053301-120.jpg] наделенные сильными топологиями, являются полными рефлексивными Я. п. 2) Пусть { а пр} - бесконечная матрица, причем [img: http://localhost:8080/file/053301-121.jpg] [img: http://localhost:8080/file/053301-122.jpg] п, р=1,2,.... Пространство таких последовательностей [img: http://localhost:8080/file/053301-123.jpg] что [img: http://localhost:8080/file/053301-124.jpg] [img: http://localhost:8080/file/053301-125.jpg] для всех р, с топологией, задаваемой преднормами [img: http://localhost:8080/file/053301-126.jpg] наз. пространством Кёте и обозначается [img: http://localhost:8080/file/053301-127.jpg] Это пространство ядерно тогда и только тогда, когда для любого рнайдется такое q, что [img: http://localhost:8080/file/053301-128.jpg] Свойства наследования. Локально выпуклое пространство ядерно тогда и только тогда, когда ядерно его пополнение. Каждое подпространство (отделимое факторпространство) Я. п. ядерно. Прямая сумма, индуктивный предел счетного семейства Я. п., а также произведение, проективный предел любого семейства Я. п.- снова Я. п. Пусть Е - произвольное локально выпуклое пространство, Е' - сопряженное пространство к Е, наделенное сильной топологией. Если Е' - Я. п., то Еназ. дуально ядерным. Если Е - произвольное пространство, a F - Я. п., то пространство L(E, F)непрерывных линейных операторов из Ев Fявляется Я. п. относительно сильной операторной топологии (простой сходимости); если к тому же Еполурефлексивно и дуально ядерно, то L(E, F) ядерно и в топологии ограниченной сходимости. Метрические и дуально метрические Я. п. Локально выпуклое пространство Еназ. дуально метрическим или пространством типа [img: http://localhost:8080/file/053301-129.jpg] если оно имеет счетную фундаментальную систему ограниченных множеств и каждое (сильно) ограниченное счетное объединение равностепенно непрерывных подмножеств в Е' равностепенно непрерывно. Всякое сильное сопряженное к метризуемому локально выпуклому пространству является дуально метрическим; обратное неверно. Если Е - пространство типа [img: http://localhost:8080/file/053301-130.jpg] то Е' - пространство типа [img: http://localhost:8080/file/053301-131.jpg] (пространство Фреше, т. е. полное и метризуемое). Примерами Я. п. типа [img: http://localhost:8080/file/053301-132.jpg] являются пространства Кёте, а также [img: http://localhost:8080/file/053301-133.jpg] соответственно [img: http://localhost:8080/file/053301-134.jpg] - Я. п. типа [img: http://localhost:8080/file/053301-135.jpg] Пространства [img: http://localhost:8080/file/053301-136.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/053301-137.jpg] не являются ни метрическими, ни дуально метрическими. Метрические и дуально метрические Я. п. сепарабельны, а если они полны, то рефлексивны. Переход к сопряженному пространству [img: http://localhost:8080/file/053301-138.jpg] устанавливает взаимно однозначное соответствие между Я. п. типа [img: http://localhost:8080/file/053301-139.jpg] и полными Я. п. типа [img: http://localhost:8080/file/053301-140.jpg] Если Е - полное Я. п. типа [img: http://localhost:8080/file/053301-141.jpg] a F - Я. п. типа [img: http://localhost:8080/file/053301-142.jpg] то пространство операторов L(E, F), наделенное топологией ограниченной сходимости, ядерно и дуально ядерно. Каждое Я. п. типа [img: http://localhost:8080/file/053301-143.jpg] изоморфно подпространству пространства [img: http://localhost:8080/file/053301-144.jpg] бесконечно дифференцируемых функций на прямой, т. е. [img: http://localhost:8080/file/053301-145.jpg] - универсальное пространство для Я. п. типа [img: http://localhost:8080/file/053301-146.jpg] (см. [10]). Пространство Фреше Еядерно тогда и только тогда, когда всякий безусловно сходящийся ряд в Есходится абсолютно (т. е. по любой непрерывной преднорме). Интенсивно изучаются пространства голоморфных функций на Я. и. типа [img: http://localhost:8080/file/053301-147.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/053301-148.jpg] (см. [11]). Тензорные произведении Я. п. и пространства вектор-функций. Алгебраическое тензорное произведение [img: http://localhost:8080/file/053301-149.jpg] локально выпуклых пространств Еи Fможно наделить проективной и слабой топологиями, превращающими [img: http://localhost:8080/file/053301-150.jpg] в топологическое тензорное произведение. Проективная топология - это сильнейшая локально выпуклая топология, для к-рой каноническое билинейное отображение [img: http://localhost:8080/file/053301-151.jpg] непрерывно. Слабая топология (или топология (би)равностепенно непрерывной сходимости) индуцируется при естественном вложении [img: http://localhost:8080/file/053301-152.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/053301-153.jpg] -сопряженное пространство к Е, наделенное топологией Макки [img: http://localhost:8080/file/053301-154.jpg] а [img: http://localhost:8080/file/053301-155.jpg] - пространство непрерывных линейных отображений [img: http://localhost:8080/file/053301-156.jpg] наделенное топологией равномерной сходимости на равностепенно непрерывных множествах в К'. При этом вложении алемент [img: http://localhost:8080/file/053301-157.jpg] переходит в оператор [img: http://localhost:8080/file/053301-158.jpg] где < х, х'> - значение функционала [img: http://localhost:8080/file/053301-159.jpg] на [img: http://localhost:8080/file/053301-160.jpg] Пополнение [img: http://localhost:8080/file/053301-161.jpg] в проективной (слабой) топологии обозначается (соответственно [img: http://localhost:8080/file/053301-162.jpg] [img: http://localhost:8080/file/053301-163.jpg] Для того чтобы Ебыло Я. п., необходимо и достаточно, чтобы для произвольного локально выпуклого пространства. проективная и слабая топологии в [img: http://localhost:8080/file/053301-164.jpg] совпадали, т. е. [img: http://localhost:8080/file/053301-165.jpg] Если F совпадает с пространством l1 суммируемых последовательностей, то Е - Я. п.; вместо l1 можно взять любое пространство с безусловным базисом (см. [12]). Тем не менее существует такое (неядерное) бесконечномерное сепарабельное банахово пространство X, что [img: http://localhost:8080/file/053301-166.jpg] (см. [13]). Если Еи F- полные пространства и F - Я. и., то вложение [img: http://localhost:8080/file/053301-167.jpg] продолжается до изоморфизма между [img: http://localhost:8080/file/053301-168.jpg] Если Е - ненулевое Я. п., то [img: http://localhost:8080/file/053301-169.jpg] ядерно тогда и только тогда, когда Fядерно. Если Еи F - оба пространства типа [img: http://localhost:8080/file/053301-170.jpg] (или [img: http://localhost:8080/file/053301-171.jpg] и Е - ядерно, то [img: http://localhost:8080/file/053301-172.jpg] [img: http://localhost:8080/file/053301-173.jpg] - пространство типа [img: http://localhost:8080/file/053301-174.jpg] (соответственно [img: http://localhost:8080/file/053301-175.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/053301-176.jpg] Пусть Е- полное Я. п., состоящее из скалярных функций (не всех) на нек-ром множестве Т, причем. является индуктивным пределом (локально выпуклой оболочкой) счетной последовательности пространств типа [img: http://localhost:8080/file/053301-177.jpg] и топология в Е не слабее топологии поточечной сходимости функций на Т. Тогда для любого полного пространства Fможно отождествить [img: http://localhost:8080/file/053301-178.jpg] с пространством всех таких отображений (вектор-функций) [img: http://localhost:8080/file/053301-179.jpg] что скалярные функции [img: http://localhost:8080/file/053301-180.jpg] принадлежат Едля всех [img: http://localhost:8080/file/053301-181.jpg] В частности, [img: http://localhost:8080/file/053301-182.jpg] совпадает с пространством всех бесконечно дифференцируемых вектор-функций на [img: http://localhost:8080/file/053301-183.jpg] со значениями в F, а [img: http://localhost:8080/file/053301-184.jpg] Структура Я. п. Пусть U - выпуклая закругленная окрестность нуля в локально выпуклом пространстве Е, а р - соответствующий Uфункционал Минковского (непрерывная преднорма), Е U - факторпространство Е/р-1(0) с нормой, индуцированной проднормой [img: http://localhost:8080/file/053301-185.jpg] - пополнение нормированного пространства Е U. Определено непрерывное каноническое линейное отображение [img: http://localhost:8080/file/053301-186.jpg] если окрестность Uсодержит окрестность F, то канонически определяется непрерывное линейное отображение [img: http://localhost:8080/file/053301-187.jpg] Для локально выпуклого пространства. следующие условия эквивалентны: 1) Еявляется Я. п.; 2) в. существует такой базис [img: http://localhost:8080/file/053301-188.jpg] выпуклых закругленных окрестностей нуля, что для любой окрестности [img: http://localhost:8080/file/053301-189.jpg] канонич. отображение [img: http://localhost:8080/file/053301-190.jpg] является ядерным оператором; 3) отображение [img: http://localhost:8080/file/053301-191.jpg] ядерно для любой выпуклой закругленной окрестности нуля Uв Е; 4) всякая выпуклая закругленная окрестность нуля Uв Есодержит другую такую окрестность нуля V, что ядерно канонич. отображение [img: http://localhost:8080/file/053301-192.jpg] Пусть К - Я. и. Для любой окрестности нуля U в Еилюбого такого числа р, что [img: http://localhost:8080/file/053301-193.jpg] существует выпуклая закругленная окрестность [img: http://localhost:8080/file/053301-194.jpg] для к-рой EV (понорме) изоморфно подпространству в пространстве lp суммируемых со степенью рпоследовательностей. Таким образом, Есовпадает с локально выпуклым ядром (индуктивным пределом) семейства пространств, изоморфных lp. В частности (случай р=2) в любом Я. п. Есуществует такой базис окрестностей нуля [img: http://localhost:8080/file/053301-195.jpg] что все пространства [img: http://localhost:8080/file/053301-196.jpg] гильбертовы; таким образом, Е - мультигильбертово пространство, т. е. топология в Еможет быть порождена семейством преднорм, каждая из к-рых получается из нек-рой неотрицательно определенной эрмитовой формы на [img: http://localhost:8080/file/053301-197.jpg] Любое полное Я. п. изоморфно проективному пределу семейства гильбертовых пространств. Пространство Етипа [img: http://localhost:8080/file/053301-198.jpg] ядерно тогда и только тогда, когда его можно представить в виде такого проективного предела [img: http://localhost:8080/file/053301-199.jpg] счетного семейства гильбертовых пространств Н п. что gmn -ядерные операторы (или хотя бы Гильберта-Щмидта oператoры)при m<n. Базисы в Я. п. В Я. п. любой равностепенно непрерывный базис является абсолютным. В пространстве типа [img: http://localhost:8080/file/053301-200.jpg] любой счетный базис (хотя бы слабый) является равностепенно непрерывным базисом Шаудера, так что в Я. п. типа [img: http://localhost:8080/file/053301-201.jpg] всякий базис является абсолютным (в частности, безусловным). Аналогичный результат справедлив для полных Я. п. типа [img: http://localhost:8080/file/053301-202.jpg] и всех Я. п., для к-рых имеет место теорема о замкнутом графике. Факторпространство Я. п. типа [img: http://localhost:8080/file/053301-203.jpg] с базисом не обязано иметь базис (см. [4], [5], [6]). Пусть Е- Я. п. тина [img: http://localhost:8080/file/053301-204.jpg] Топологию в Еможно задать счетной системой преднорм [img: http://localhost:8080/file/053301-205.jpg], р=1, 2,..., причем [img: http://localhost:8080/file/053301-206.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/053301-207.jpg] Если в Есуществует базис или непрерывная норма, то преднормы [img: http://localhost:8080/file/053301-208.jpg] можно считать нормами. Пусть { е n} - базис в Е;тогда любой элемент [img: http://localhost:8080/file/053301-209.jpg] разлагается в сходящийся (абсолютно и безусловно) ряд [img: http://localhost:8080/file/053301-210.jpg] где координаты [img: http://localhost:8080/file/053301-211.jpg] имеют вид [img: http://localhost:8080/file/053301-212.jpg] а функционалы [img: http://localhost:8080/file/053301-213.jpg] образуют биортогональный базис в Е'. Пространство Еизоморфно пространству Кётe [img: http://localhost:8080/file/053301-214.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/053301-215.jpg] при этом изоморфизме элемент [img: http://localhost:8080/file/053301-216.jpg] переходит в последовательность своих координат [img: http://localhost:8080/file/053301-217.jpg] Базис {fn} в Еэквивалентен базису { е n},т. е. получается из него под действием изоморфизма тогда и только тогда, когда пространства Кёте [img: http://localhost:8080/file/053301-218.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/053301-219.jpg] совпадают как множества [4]. Базис {fn} наз. регулярным (пли правильным), если существует система норм [img: http://localhost:8080/file/053301-222.jpg] и перестановка индексов [img: http://localhost:8080/file/053301-220.jpg] такие, что [img: http://localhost:8080/file/053301-221.jpg] монотонно убывает при всех [img: http://localhost:8080/file/053301-223.jpg] Если Я. п. Етипа [img: http://localhost:8080/file/053301-224.jpg] имеет регулярный базис, то любые два базиса в Еквазиэквивалентны (т.