Якоби многочлены

многочлены, ортогональные на отрезке [-1, 1] с весовой функцией [img: http://localhost:8080/file/053303-60.jpg] Стандартизованные Я. м. определяются Рoдрига фoрмулой [img: http://localhost:8080/file/053303-61.jpg] а ортонормированные Я. м. имеют вид [img: http://localhost:8080/file/053303-62.jpg] Многочлен [img: http://localhost:8080/file/053303-63.jpg] удовлетворяет дифференциальному уравнению [img: http://localhost:8080/file/053303-64.jpg] При [img: http://localhost:8080/file/053303-65.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/053303-66.jpg] для ортонормированных Я. м. имеет место весовая оценка [img: http://localhost:8080/file/053303-67.jpg] где постоянная с 1 не зависит от пи х. А в точках [img: http://localhost:8080/file/053303-68.jpg] последовательность [img: http://localhost:8080/file/053303-69.jpg] возрастает со скоростью [img: http://localhost:8080/file/053303-70.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/053303-71.jpg] соответственно. Ряды Фурье по Я. м. внутри интервала (-1, 1) аналогичны тригонометрич. рядам Фурье. А в окрестности концов отрезка ортогональности свойства рядов Фурье - Якоби иные, ибо в точках [img: http://localhost:8080/file/053303-72.jpg] ортонормированные Я. м. возрастают неограниченно. Равномерная сходимость ряда Фурье - Якоби на всем отрезке [-1, 1] имеет место, если функция f(x) непрерывно дифференцируема рраз на этом отрезке и [img: http://localhost:8080/file/053303-73.jpg] причем [img: http://localhost:8080/file/053303-74.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/053303-75.jpg] При этих условиях выполняется неравенство [img: http://localhost:8080/file/053303-76.jpg] где постоянная с 2 не зависит от пи х. С другой стороны, для остатка ряда Фурье - Якоби при [img: http://localhost:8080/file/053303-77.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/053303-78.jpg] [img: http://localhost:8080/file/053303-79.jpg] справедлива весовая оценка [img: http://localhost:8080/file/053303-80.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/053303-81.jpg] постоянная с 3 не зависит от пи х,a En(f) - наилучшее равномерное приближение непрерывной функции f(x)на отрезке [-1, 1] многочленами порядка не выше п. Я. м. были введены К. Якоби [1] в связи с решением гипергеометрич. уравнения. Частными случаями Я. м. являются Лежандра многочлены (при [img: http://localhost:8080/file/053303-82.jpg] Чебышева многочлены1-го рода (при [img: http://localhost:8080/file/053303-83.jpg] Чебышева многочлены 2-го рола (при [img: http://localhost:8080/file/053303-84.jpg] улътрасферические многочлены (при [img: http://localhost:8080/file/053303-85.jpg] См. также ст. Классические ортогональные многочлены.