Якови метод

1) Я. м. метод приведения квадратичной формы к канонич. виду при помощи треугольного преобразования неизвестных, предложенный К. Якоби (С. Jacobi, 1834) (см. [1]). Пусть дана билинейная форма [img: http://localhost:8080/file/053303-1.jpg] (не обязательно симметрическая) над нек-рым полем Р, и пусть матрица A=||aki|| этойформы удовлетворяет следующему условию: [img: http://localhost:8080/file/053303-2.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/053303-3.jpg] - минор k-гo порядка, стоящий в ее левом верхнем углу. Тогда форма f может быть записана в таком виде: [img: http://localhost:8080/file/053303-4.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/053303-5.jpg] а при k=2,..., п., [img: http://localhost:8080/file/053303-6.jpg] В частности, если А - симметрич. матрица и f - квадратичная форма с матрицей А, удовлетворяющая условию (1), то форма f приводится к канонич. виду [img: http://localhost:8080/file/053303-7.jpg] при помощи следующего преобразования неизвестных: [img: http://localhost:8080/file/053303-8.jpg] при k=2,..., п, и [img: http://localhost:8080/file/053303-9.jpg] Это преобразование имеет треугольную матрицу и записывается в виде [img: http://localhost:8080/file/053303-10.jpg] где Cki- минор матрицы A, стоящий в строках с номерами 1, 2,..., k-, kи столбцах с номерами 1, 2,..., k-1, i. Формулы (2) - (7) наз. иногда формулами Якоби. В случае, когда матрица квадратичной формы f удовлетворяет лить условию [img: http://localhost:8080/file/053303-11.jpg] где r - ранг формы, эта форма может быть приведена к каноническому виду [img: http://localhost:8080/file/053303-12.jpg] (здесь [img: http://localhost:8080/file/053303-13.jpg] треугольным преобразованием неизвестных. Приведение можно осуществить при помощи метода Гаусса (см. [1], с. 272-275). В частности, если поле [img: http://localhost:8080/file/053303-14.jpg] то положительный индекс инерции квадратичной формы f равен числу сохранений знака, а отрицательный индекс инерции - числу перемен знака в ряду чисел [img: http://localhost:8080/file/053303-15.jpg] См. также Инерции закон.