Янга-миллса поле

- связность в главном расслоении над (псевдо) римановым многообразием, кривизна к-рой удовлетворяет условию гармоничности (уравнению Янга - Миллса). Я.- М. п., наз. также калибровочными полями, используются в современной физике для описания физич. полой, играющих роль переносчиков взаимодействия. Так, электромагнитное поле в электродинамике, поле векторных W -бозонов - переносчиков слабого взаимодействия в теории электрослабого взаимодействия Вайнберга - Салама и, наконец, глюонное поле - переносчик сильного взаимодействия - описываютсяЯ.- М. [img: http://localhost:8080/file/053304-113.jpg] ковариантной производной тензора Риччи ric. Таким образом, примерами Я.- М. п. служат римановы связности пространств Эйнштейна и прямых произведений таких пространств. В частности, римановы связности пространств Кэлера - Эйнштейна и кватернионных римановых пространств определяют Я.- М. п. в главных расслоениях реперов со структурными группами U (п/2) и Sp (l) х Sp (n /4). Примерами неэйнштейновых римановых связностей, удовлетворяющих уравнению Янга - Миллса, являются римановы связности конформно плоских метрик с постоянной скалярной кривизной и непостоянной секционной кривизной. Примерами неримановых связностей, удовлетворяющих уравнениям Янга - Миллса, являются связности в нормальном расслоении вполне геодезич. подмногообразий симметрического пространства или кватернионных подмногообразий кватернионного пространства, индуцированные римановыми связностями этих пространств. Уравнение Янга - Миллса является вариационным уравнением Эйлера - Лагранжа для функционала [img: http://localhost:8080/file/053304-114.jpg] в пространстве связностей главного расслоения p, задаваемого формулой [img: http://localhost:8080/file/053304-115.jpg] Риманово многообразие (М, g)предполагается компактным и ориентированным, а скобка [img: http://localhost:8080/file/053304-116.jpg] означает скалярное произведение в слоях векторного расслоения [img: http://localhost:8080/file/053304-117.jpg] определяемое AdG -инвариантным скалярным произведением в алгебре Ли q группы G и скалярным произведением в слоях расслоения [img: http://localhost:8080/file/053304-118.jpg] 2-форм на М, индуцированным-метрикой g. Таким образом, Я.- М. п. суть критич. точки функции [img: http://localhost:8080/file/053304-119.jpg] Я.- М. п. наз. устойчивым, если 2-й дифференциал функции L в точке [img: http://localhost:8080/file/053304-120.jpg] положительно определен (и, следовательно, [img: http://localhost:8080/file/053304-121.jpg] есть локальный минимум функции L)и cлaбо устойчивым, если 2-й дифференциал неотрицательно определен. Известно, что не существует слабо устойчивых Я.-М. п., в произвольном нетривиальном главном расслоении над стандартной сферой Sn при [img: http://localhost:8080/file/053304-122.jpg] С другой стороны, при [img: http://localhost:8080/file/053304-123.jpg] риманова связность стандартной римановой метрики факторпространства Sn/ Г сферы по свободно действующей нетривиальной конечной группе изометрий Г является устойчивым Я.-М. [img: http://localhost:8080/file/053304-135.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/053304-136.jpg] - первое Понтрягина число расслоения [img: http://localhost:8080/file/053304-137.jpg] а [img: http://localhost:8080/file/053304-138.jpg] - характеристика Эйлера - Пуанкаре и сигнатура многообразия M 4. Наиболее полные результаты получены в физически важном случае расслоений над стандартной сферой S 4 с классическими компактными структурными группами G. В частности, получено описание зсех инстантонов в таких расслоениях в чисто алгебраич. терминах (напр., в терминах нек-рых модулей над грассмановой алгеброй или в терминах решений нек-рых кватернионных матричных уравнений, см. [1]). Для случая группы G =Sp (l) известно явное описание всех инстантонов. Напр., для Sр (1)-расслоения [img: http://localhost:8080/file/053304-139.jpg] с Понтрягина числом 1 пространство модулей [img: http://localhost:8080/file/053304-140.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/053304-141.jpg] - множество положительных чисел, а [img: http://localhost:8080/file/053304-142.jpg] - множество кватернионов. Паре [img: http://localhost:8080/file/053304-143.jpg] отвечает инстантон, задаваемый [img: http://localhost:8080/file/053304-144.jpg] -значной 1-формой связности [img: http://localhost:8080/file/053304-145.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/053304-146.jpg] Кватернионы из [img: http://localhost:8080/file/053304-147.jpg] отождествляются с точками сферы S 4 с помощью стереографич. проекции, а алгебра Ли [img: http://localhost:8080/file/053304-148.jpg] =Sp (1)рассматривается как алгебра Ли Im [img: http://localhost:8080/file/053304-149.jpg] чието мнимых кватернионов.