L-адические когомологии

- одна из конструкций когомологий абстрактных алгебраич. многообразий и схем. Этальные когомологий схем являются пе-риодич. модулями. Для различных нужд, в первую очередь для доказательства формулы Лефшеца и приложений к дзета-функциям, необходимы когомологий "с коэффициентами в кольцах нулевой характеристики". Они получаются из этальных когомологий переходом к проективному пределу. Пусть l - простое число, l-адическим пучком на схеме Xназ. проективная система [img: http://localhost:8080/file/010109-170.jpg] этальных абелевых пучков [img: http://localhost:8080/file/010109-171.jpg] такая, что для всех и гомоморфизмы перехода [img: http://localhost:8080/file/010109-172.jpg] эквивалентны кано-нич. морфизму [img: http://localhost:8080/file/010109-173.jpg] Каждая компонента Р пZ-адического пучка является пучком [img: http://localhost:8080/file/010109-174.jpg] Z- модулей. Z-адический пучок Fназ. конструктивным (соответственно, локально постоянным), если все пучки [img: http://localhost:8080/file/010109-175.jpg] конструктивные (локально постоянные) этальные пучки. Имеет место естественная эквивалентность категории локально постоянных конструктивных пучков на связной схеме Xи категорией модулей конечного типа над кольцом [img: http://localhost:8080/file/010109-176.jpg] целых Z-адических чисе. пучки Тейта [img: http://localhost:8080/file/010109-178.jpg] - постоянный пучок на X, ассоциированный с группой [img: http://localhost:8080/file/010109-179.jpg] а [img: http://localhost:8080/file/010109-180.jpg] - пучок корней [img: http://localhost:8080/file/010109-181.jpg] степени из единицы на X. Если А - абелева схема над X, то [img: http://localhost:8080/file/010109-182.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/010109-183.jpg] - ядро умножения в A на [img: http://localhost:8080/file/010109-184.jpg] образует локально постоянный конструктивный l-адический пучок на X, наз. модулем Тейта абелевой схемы А. Если X - схема над полем k,a [img: http://localhost:8080/file/010109-185.jpg] - схема, полученная из Xзаменой базы с kна сепарабельное замыкание [img: http://localhost:8080/file/010109-186.jpg] поля [img: http://localhost:8080/file/010109-187.jpg] - l-адический пучок на X, то этальные когомологий [img: http://localhost:8080/file/010109-188.jpg] определяют проективную систему [img: http://localhost:8080/file/010109-189.jpg] -модулей. Проективный предел [img: http://localhost:8080/file/010109-190.jpg] естественным образом снабжается структурой [img: http://localhost:8080/file/010109-191.jpg] -модуля, на к-ром [img: http://localhost:8080/file/010109-192.jpg] действует непрерывно относительно l-адической топологии, и наз. i-ми l-адическими когомологиями пучка [img: http://localhost:8080/file/010109-193.jpg] В случае, когда [img: http://localhost:8080/file/010109-194.jpg] обычно пишут [img: http://localhost:8080/file/010109-195.jpg] На [img: http://localhost:8080/file/010109-196.jpg] к. конструктивных l-адических пучков переносятся фундаментальные теоремы об этальных когомологиях. Если [img: http://localhost:8080/file/010109-197.jpg] - поле рациональных l-адических чисел, то [img: http://localhost:8080/file/010109-198.jpg] -пространства [img: http://localhost:8080/file/010109-199.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010109-200.jpg] наз. рациональными l-адическими когомологиями схемы X. Их размерность [img: http://localhost:8080/file/010109-201.jpg] (в случае, когда она определена) наз. i-м числом Бетти X. Для полных k-схем числа bi(X;l).определены и не зависят от [img: http://localhost:8080/file/010109-202.jpg] Если k - алгебраически замкнутое поле характеристики [img: http://localhost:8080/file/010109-203.jpg] то сопоставление гладкому полному k- многообразию пространств [img: http://localhost:8080/file/010109-204.jpg] определяет Вейля когомологий. В случае, когда k=C - поле комплексных чисел, имеет место теорема сравнения: [img: http://localhost:8080/file/010109-205.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010109-206.jpg]