S-двойственность

стационарная двойственность, Спеньера двойственность, - двойственность в теории гомотопии, имеющая место (при отсутствии ограничений на размерность пространств) для аналогов обычных гомотопич. и когомотопич. групп в надстроечной категории - для S-гомотопич. и S-когомотопнч. групп или стационарных групп гомотошш и когомотопий, образующих экстраординарные (обобщенные) теории гомологии и когомологий. Надстроечной категорией, или S-к атегорией, наз. категория, объектами к-рой являются топологич. пространства X, а морфизмами - классы {f} S-гомотопных отображений f р -кратной надстройки SpX1 в SPX2, причем f и g: [img: http://localhost:8080/file/020505-68.jpg] считаются 5-гомотопными, если существует такое [img: http://localhost:8080/file/020505-69.jpg] что надстройки [img: http://localhost:8080/file/020505-70.jpg] гомотопны в обычном смысле. Множество {Х х, X2} таких классов, наз. S-oтображениями, составляет абелеву группу (относительно так яаз. колейного сложения, см. [1], [2], [4), [5]). Группа {Х г, Х 2)есть предел прямого спектра множеств [SkX1, SkX2]обычных гомотогшч. классов с надстроечными отображениями в качестве проекций, являющегося при достаточно больших кспектром групп с гомоморфизмами. Имеет место изоморфизм S: {Х 1, Х 2} [img: http://localhost:8080/file/020505-71.jpg] {SX1, SX2}, при к-ром соответствующие друг другу элементы представляются одним и тем же отображением [img: http://localhost:8080/file/020505-72.jpg] Полиэдром, п- двойственным к полиэдру Xсферы Sn, наз. произвольный полиэдр D п Х в Sn, являющийся S-це формационным ретрактом дополнения [img: http://localhost:8080/file/020505-73.jpg] т. е. если морфизм, соответствующий вложению [img: http://localhost:8080/file/020505-74.jpg] есть S-эквивалентность. Полиэдр DnX существует для каждого X, и можно рассматривать Xкак [img: http://localhost:8080/file/020505-75.jpg] Для любых полиэдров Х 1, Х 2 и любых n-двойственных им полиэдров DnX1 и DnX2 существует единственное отображение [img: http://localhost:8080/file/020505-76.jpg] удовлетворяющее следующим условиям: а) Оно является инволютивным контравариантным функториальным изоморфизмом, т. е. Dn есть такой гомоморфизм, [img: http://localhost:8080/file/020505-77.jpg] что если [img: http://localhost:8080/file/020505-78.jpg] то если [img: http://localhost:8080/file/020505-79.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/020505-80.jpg] если 0 - элемент из {X1, Х 2} или из {DnX2, DnX1}, то [img: http://localhost:8080/file/020505-81.jpg] б) Оно удовлетворяет соотношениям [img: http://localhost:8080/file/020505-82.jpg] где SDnXi и DnXi рассматриваются как полиэдры, (n+1)-двойственные к полиэдрам X;и, соответственно, SXi, i=i,2; это значит, что оно не зависит от n и стационарно относительно надстройки. в) Оно удовлетворяет равенству где [img: http://localhost:8080/file/020505-83.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/020505-84.jpg] - гомоморфизмы [img: http://localhost:8080/file/020505-85.jpg] указанных групп гомологии и когомологий, индуцированные S-отображениями [img: http://localhost:8080/file/020505-86.jpg] и Dnq, a [img: http://localhost:8080/file/020505-87.jpg] есть изоморфизм, к-рый получается из изоморфизма Александера двойственности заменой множества [img: http://localhost:8080/file/020505-88.jpg] его S-деформационным ретрактом DnXi. Построение Dn опирается на представление данного отображения как композиции вложения и S-деформационной ретракции. S- гомотопической группой е р (Х)пространства Xназ. группа {Sp, X}, а S-к огомотопической группой S Р (Х)пространства X- группа {X, SP}. Как и в обычной теории гомотошш, определяются гомоморфизмы [img: http://localhost:8080/file/020505-89.jpg] Рассмотрение сфер Sp и Sn-p-1 как n-двойственных приводит к изоморфизму [img: http://localhost:8080/file/020505-90.jpg] и к коммутативной диаграмме [img: http://localhost:8080/file/020505-91.jpg] Таким образом, изоморфизм Dn связывает S-гомотопич. и S-когомотопич. группы подобно тому, как изоморфизм двойственности Александера Dan связывает группы гомологии и когомологии. Какая-либо двойственность в S-категории приводит к двойственности в случае обычных гомотопич. классов, если на пространство наложить требования, из к-рых следует наличие взаимно однозначного соответствия множества указанных классов с множеством S-гомотопических классов. Примерами двойственных предложений в этой теории являются теорема Гуревича об изоморфизме и теорема классификации Хопфа. Dn переводит одну из этих теорем в другую, что означает замену S-гомотопич. групп S-когомотопическими, групп гомологии - группами когомологии, отображения jp- отображениями jn-p-1, наименьшей размерности с нетривиальной гомологич. группой - наивысшей размерностью с нетривиальной группой когомологии, и наоборот. В обычной теории гомотогши для определения n-когомотопич. группы требуется, чтобы размерность пространства не превышала 2n-2 (или, более общо, чтобы пространство было (2n-1)-косвязным, n>1), что нарушает полную общность двойственности. Теория обобщается в различных направлениях: напр., рассматриваются пространства, имеющие S-гомотопический тип полиэдров, относительный случай, теория с носителями и др. (см. [3], [5], [6], [7]). Она послужила одним из источников стационарной гомотопической теории [8].