), основанное на использовании Банаха индикатрисы,. Пусть действительнозначная функция [img: http://localhost:8080/file/010304-186.jpg] задана и измерима по Лебегу на n-мерном кубе [img: http://localhost:8080/file/010304-187.jpg]. Вариацией [img: http://localhost:8080/file/010304-188.jpg] порядка [img: http://localhost:8080/file/010304-189.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010304-190.jpg] функции [img: http://localhost:8080/file/010304-191.jpg] на кубе [img: http://localhost:8080/file/010304-192.jpg] наз. число [img: http://localhost:8080/file/010304-193.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010304-194.jpg] обозначает [img: http://localhost:8080/file/010304-195.jpg] -ю вариацию множества [img: http://localhost:8080/file/010304-196.jpg], а интеграл понимается в смысле Лебега. Ото определение позволяет перенести на функции нескольких переменных многие свойства функций ограниченной вариации одного переменного. Напр.: [img: http://localhost:8080/file/010304-197.jpg] б) Если последовательность функций [img: http://localhost:8080/file/010304-198.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010304-199.jpg] сходится к [img: http://localhost:8080/file/010304-200.jpg] равномерно на [img: http://localhost:8080/file/010304-201.jpg], то [img: http://localhost:8080/file/010304-202.jpg] в) Если функция [img: http://localhost:8080/file/010304-203.jpg] непрерывна на [img: http://localhost:8080/file/010304-204.jpg] и все ее вариации конечны, то [img: http://localhost:8080/file/010304-205.jpg] почти всюду имеет полный дифференциал. г) Если функция [img: http://localhost:8080/file/010304-206.jpg] абсолютно непрерывна на [img: http://localhost:8080/file/010304-207.jpg], то [img: http://localhost:8080/file/010304-208.jpg] д) Если функция [img: http://localhost:8080/file/010304-209.jpg] непрерывна на кубе [img: http://localhost:8080/file/010304-210.jpg] со стороной [img: http://localhost:8080/file/010304-211.jpg], имеет конечные вариации всех порядков на кубе [img: http://localhost:8080/file/010304-212.jpg] и может быть периодически продолжена с периодом [img: http://localhost:8080/file/010304-213.jpg] по каждому аргументу [img: http://localhost:8080/file/010304-214.jpg] на все н-мерное пространство, то ее ряд Фурье равномерно сходится к ней на [img: http://localhost:8080/file/010304-215.jpg] по Прингсхейму. Достаточные условия конечности вариаций: если функция [img: http://localhost:8080/file/010304-216.jpg] имеет на кубе [img: http://localhost:8080/file/010304-217.jpg] непрерывные производные всех порядков до [img: http://localhost:8080/file/010304-218.jpg] -го включительно, то ее вариация порядка kконечна. Эта теорема является окончательной в том смысле, что условия на гладкость не улучшаема ни прп одном k. Лит

http://libmeta.ru/resource/mathenc/publication/p9859