Вариация функции

числовая характеристика функции одного действительного-переменного, связанная с ее дифференциальными свойствами. 1) Пусть [img: http://localhost:8080/file/010304-129.jpg] - функция действительного переменного х, заданная на отрезке [img: http://localhost:8080/file/010304-130.jpg]; ее вариация [img: http://localhost:8080/file/010304-131.jpg] есть точная верхняя грань сумм вида [img: http://localhost:8080/file/010304-132.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010304-133.jpg] - произвольная система точек из [img: http://localhost:8080/file/010304-134.jpg]. Это определение предложено К. Жорда-ном [1]. Если [img: http://localhost:8080/file/010304-135.jpg], то говорят, что функция [img: http://localhost:8080/file/010304-136.jpg] имеет ограниченную (конечную) вариацию на отрезке [img: http://localhost:8080/file/010304-137.jpg], а класс всех таких функций обозначают через [img: http://localhost:8080/file/010304-138.jpg] или просто через V. Функция [img: http://localhost:8080/file/010304-139.jpg] принадлежит классу [img: http://localhost:8080/file/010304-140.jpg] тогда и только тогда, когда она может быть представлена в виде [img: http://localhost:8080/file/010304-141.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010304-142.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010304-143.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010304-144.jpg] - возрастающие (убывающие) на [img: http://localhost:8080/file/010304-145.jpg] функции (Жордана разложение функции ограниченной вариации). Сумма, разность и произведение двух функций класса [img: http://localhost:8080/file/010304-146.jpg] также есть функция класса [img: http://localhost:8080/file/010304-147.jpg]. Это справедливо и для частного двух функций класса [img: http://localhost:8080/file/010304-148.jpg], если модуль знаменателя превосходит положительную постоянную на отрезке [img: http://localhost:8080/file/010304-149.jpg]. Каждая функция класса [img: http://localhost:8080/file/010304-150.jpg] ограничена и может иметь не более чем счетное множество точек разрыва, причем все они 1-го рода. Все эти свойства функций класса [img: http://localhost:8080/file/010304-151.jpg] установлены К. Жорданом [1] (см. также [2], с. 234-38). Функции [img: http://localhost:8080/file/010304-152.jpg] класса [img: http://localhost:8080/file/010304-153.jpg] почти всюду дифференцируемы на [img: http://localhost:8080/file/010304-154.jpg] и для них имеет место разложение [img: http://localhost:8080/file/010304-155.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010304-156.jpg] - абсолютно непрерывная, [img: http://localhost:8080/file/010304-157.jpg] - сингулярная функция, а [img: http://localhost:8080/file/010304-158.jpg] - функция скачков (Лебега разложение фуикции ограниченной вариации). Это разложение единственно, если [img: http://localhost:8080/file/010304-159.jpg] (см. [3] и [2], с. 290). Первоначально класс [img: http://localhost:8080/file/010304-160.jpg] был введен К. Жорданом в связи с обобщением Дирихле признака сходимости рядов Фурье кусочно монотонных функций. К. Жор-дан доказал, что ряды Фурье [img: http://localhost:8080/file/010304-161.jpg] -периодич. функций класса [img: http://localhost:8080/file/010304-162.jpg] сходятся в каждой точке действительной оси. Однако в дальнейшем функции ограниченной вариации нашли широкое применение в различных областях математики, особенно в теории интеграла Стилтьеса. Иногда рассматриваются классы [img: http://localhost:8080/file/010304-163.jpg], к-рые определяются следующим образом. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010304-164.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010304-165.jpg] положительная при [img: http://localhost:8080/file/010304-166.jpg] монотонно возрастающая непрерывная функция. Обозначим через [img: http://localhost:8080/file/010304-167.jpg] точную верхнюю грань сумм вида [img: http://localhost:8080/file/010304-168.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010304-169.jpg] - произвольное разбиение отрезка [img: http://localhost:8080/file/010304-170.jpg]. Величина [img: http://localhost:8080/file/010304-171.jpg] наз. Ф-вариацией функции [img: http://localhost:8080/file/010304-172.jpg] на отрезке [img: http://localhost:8080/file/010304-173.jpg]. Если [img: http://localhost:8080/file/010304-174.jpg] то говорят, что функция [img: http://localhost:8080/file/010304-175.jpg] имеет ограниченную Ф - вариацию на отрезке [img: http://localhost:8080/file/010304-176.jpg], а класс всех таких функций обозначается через [img: http://localhost:8080/file/010304-177.jpg] или просто через [img: http://localhost:8080/file/010304-178.jpg] (см. (4], с. 287). При [img: http://localhost:8080/file/010304-179.jpg] получается класс [img: http://localhost:8080/file/010304-180.jpg] К. Жордана, а при [img: http://localhost:8080/file/010304-181.jpg] - классы Vp Н. Винера [5]. Определение класса V Ф[a, b] предложено Л. Юнг [6]. Если [img: http://localhost:8080/file/010304-182.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/010304-183.jpg] В частности, [img: http://localhost:8080/file/010304-184.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/010304-185.jpg] причем эти вложения строгие.