Особая точка ОДУ первого порядка

<b> Определение </b> . $$ ( Л . Э . Эльсгольц , с. 57—61.)
Точки $\left(x_0,y_0\right),$ в окрестности которых решения уравнения $$\frac{dy}{dx}=f\left(x,y\right),\left(1\right)$$ удовлетворяющего условию $y\left(x_0\right)=y_0,$ не существует или решение существует, но не единственно, называются особыми точками уравнения (1). <br/> Другие определения особых точек ОДУ (1) см. в цитируемых первоисточниках, а также в статье ЛСУ «Решение ОДУ первого порядка |RDE0079|». <br/> Далее, о понятии «примыкание интегральных кривых к особой точке (траекторий на фазовой плоскости)», например, к особой точке $\left(0,0\right)$ см. в <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325024">Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Учебное пособие. Изд. 5-е, дополн.(c. 319-320)</a> и др. <br/> Характерные примеры ( <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325024">Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Учебное пособие. Изд. 5-е, дополн.(c. 314-315)</a> ). <br/> <b> Пример </b> 1. $\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}.$ Общее решение — однопараметрическое семейство полупрямых $y=Cx$ $\left(x?0\right),$ примыкающих к особой точке — началу координат $\left(0,0\right).$ <br/> <b> Пример </b> 2. $\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}.$ Общее решение (общий интеграл) $x^2+y^2=c^2,$ где $c$ — произвольная постоянная; все замкнутые интегральные кривые этого семейства содержат (объемлят) особую точку $\left(0,0\right),$ но ни одна из них не примыкает к точке $\left(0,0\right)$ — началу координат. <br/> Пусть $f\left(x,y\right)=P\left(x,y\right)/Q\left(x,y\right)$ (см. (1)), функции $P$ и $Q$ непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности точки $\left(x_0,y_0\right)$ и $P\left(x_0,y_0\right)=Q\left(x_0,y_0\right)=0.$ Тогда ОДУ $$\frac{dy}{dx}=\frac{P\left(x,y\right)}{Q\left(x,y\right)}$$ имеет в точке $\left(x_0,y_0\right)$ особенность типа $0/0.$ В случае $P\left(x,y\right)=Cx+Dy,$ $Q\left(x,y\right)=Ax+By,$ где $A,B,C,D$ — постоянные действительные числа, имеем ОДУ $$\frac{dy}{dx}=\frac{Cx+Dy}{Ax+By},\left(2\right)$$ где полагаем $$AD-BC?0.\left(3\right)$$ ОДУ (2) имеет особую точку в начале координат $\left(0,0\right)$ типа $0/0,$ в которой поле направлений не определено. <br/> Исследование поведения интегральных кривых ОДУ (2) с условием (3) проводится на основе анализа корней, а значит и коэффициентов, характеристического уравнения вида <br/> ${?}^2-\left(A+D\right)?+\left(AD-BC\right)=0,\left(|ccA-?C\left[1.0mm\right]BD-?|=0\right){|}^{?\text{)}}$ <br/> с условием (3). <br/> Имеем: $${?}_{1,2}=12[\left(A+D\right)\pm \sqrt{{\left(A-D\right)}^2+4BC}1pt\left(4\right)$$ Ниже приведена классификация особенностей в начале координат — особой точке ОДУ (2) <br/> 1. $$ Если дискриминант (см. (4)) ${\left(A-D\right)}^2+4BC>0,$ то <br/> $$ 1.1. $$ при $AD-BC>0$ особая точка — узел, $({?}_1?{?}_2,{?}_1?{?}_2>0),$ <br/> $$ 1.2. $$ при $AD-BC<0$ особая точка — седло, $({?}_1?{?}_2<0,{?}_1?{?}_2).$ <br/> 2. $$ Пусть ${\left(A-D\right)}^2+4BC<0.$ Тогда: <br/> $$ 2.1. $$ при $A+D?0$ особая точка — фокус, $$\left\{{?}_{1,2}=12\left[\left(A+D\right)\pm qi\right]\right\},$$ <br/> $$ 2.2. $$ при $A+D=0$ особая точка — центр, $$\left({?}_{1,2}=\pm 12qi\right).$$ <br/> <br/> 3. $$ Если дискриминант ${\left(A-D\right)}^2+4BC=0,$ то особая точка — вырожденный узел или $3.$ дикритический узел (в последнем случае $A=D,$ $B=C=0).$ <br/> <b> Замечание </b> 1. $$ Наряду с ОДУ (2) рассматривают обычно также особенности автономной (стационарной) системы двух уравнений $$\left\{ldx/dt=Ax+By,\left[1.5mm\right]dy/dt=Cx+Dy,\right.\left(5\right)$$ переход к которой от ОДУ (2) осуществляется с помощью введения новой независимой переменной $t,$ дифференциал которой удовлетворяет соотношению $$\frac{dx}{Ax+By}=\frac{dy}{Cx+Dy}=dt.$$ <br/> <b> Замечание </b> 2. $$ Система уравнений (5) равносильна (эквивалентна) ОДУ (2) в следующем смысле: всякая интегральная кривая ОДУ (2) является траекторией системы(5) на фазовой плоскости $xOy,$ и обратно, каждая траектория системы (5) на фазовой плоскости $xOy,$ отличная от точки покоя (равновесия), есть интеграль- ная кривая ОДУ (2). Точка $x=0,$ $y=0,$ $\left(0,0\right)$ для ОДУ (2) — особая точка, именуемая точкой покоя (равновесия) системы (5). Далее, система функций $\left\{x?0,y?0\right\}$ является решением системы (5). Сказанное, полагают, является основанием для классификации видов точки покоя $\left(0,0\right)$ системы (5) в зависимости от вида особой точки ОДУ(2): точку покоя считают узлом, седлом, фокусом, центром (с указанием устойчивости (неустойчивости) невозмущенного движения), если особая точка $\left(0,0\right)$ для ОДУ (2) является соответственно узлом, седлом, фокусом, центром. <br/> <b> Замечание </b> 3. $$ Выше использовали материал первоисточников: Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям.(c. 267-296) ; Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Пер. с немецк. С.В.Фомина. Изд. 2-е, перераб. и дополн.(c. 636-640) ; Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Учебное пособие. Изд. 5-е, дополн.(c. 288-294) , 313—339; Качественная теория дифференциальных уравнений.(c. 37-45) ; Курс высшей математики. Т.II. Изд. 14-е, исправл.(c. 157-165) ; Курс дифференциальных уравнений. Изд. 8-е, стереотип.(c. 76-94) ; Дифференциальные уравнения. Пер. с англ. А.Д.Мышкиса.(c. 44-101) ; см. также на c. 48—50 о рав- носильности ОДУ вида $\frac{dy}{dx}=\frac{Q\left(x,y\right)}{P\left(x,y\right)}$ и системы $\{ldx/dt=P\left(x,y\right),\left[0.5mm\right]dy/dt=Q\left(x,y\right).$ <br/> О дальнейшем см. цитированную литературу и статьи тезауруса. <br/>