Решение ОДУ первого порядка

Тематика рассматриваемой статьи, пожалуй, центральная, ибо основное — это получение решения ОДУ: практически все методы исследования в предметной области ОДУ явно или косвенно сводятся именно к получению решения ОДУ в каком-либо приемлемом для использования виде и изучению его свойств. Отсюда — и идея о п\' а рной статье тезауруса, пример которой приведен в <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325091">Элементы численного анализа и математической обработки результатов опыта. Изд. 2-е, перераб.</a> <br/> <b> Замечание </b> . $$ Задача составителей тезауруса — отразить все имеющие быть в информационной среде суждения и взгляды по рассматриваемым вопросам, не делая предпочтения и не давая тем более никаких оценок, а объективно фиксировать суть дела, рекомендуя пользователям/читателям обращаться для дальнейшего изучения к цитируемым источникам, список которых определяется, в частности, условиями доступности студентам, аспирантам, информационным работникам в электронном/печатном исполнении.
Изложенное выше (замечание) в определенной мере относится к изданиям типа тезауруса в целом.

$1^{?}.$ Общее и частное решения ОДУ <br/> Для всякого ОДУ определяется область изменения переменных уравнения, при ко- торых ОДУ имеет смысл (по поводу определения ОДУ см. книгу: <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325051">Обыкновенные дифференциальные уравнения. Изд. 2-е.(c. 16-17)</a> ). Для ОДУ вида $dy/dx=f\left(x,y\right)$ рассматривается и $dx/dy=1/f\left(x,y\right).$ В этой области должны быть выполнены условия существования решения. Помимо всего прочего, немаловажен вопрос и о способе включения произвольной постоянной в формульную зависимость общего решения. Например, для Клеро ОДУ следует вместо обозначения производной вставить в уравнение произвольную постоянную и получаем общее решение Клеро ОДУ $(y=Cx+?\left(C\right),$ (см., например, <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325043">Дифференциальные уравнения. Учебное пособие для физ.-матем. факультетов пед. институтов.(c. 66-70)</a> )). <br/> О терминологии . $$ Некоторые авторы используют преимущественно термины: «общий интеграл», «интеграл», другие, наряду с перечисленными выше — «общее решение», «частное решение» в зависимости от представления функции — решения ОДУ. Составители настоящего тезауруса используют термины:
«Общее решение (общий интеграл) ОДУ первого порядка»,
«Частное решение (частный интеграл) ОДУ первого порядка», а также
«Особое решение (особый интеграл) ОДУ первого порядка»
в качестве дескрипторов вне зависимости от вида математических записей решений ОДУ.
Естественно, что (как и везде в тезаурусе) в приводимых ниже цитируемых определениях, утверждениях сохраняется терминология первоисточников, а также по возможности и обозначения.

Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Изд. 6-е, исправл.(c. 113-116) , Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Изд. 3-е.(c. 102-105) .
Определение 1. $$ Пусть дана система ОДУ $$\frac{d{y}_i}{dx}=f_i\left(x,y_1,y_2,\dots ,y_n\right),i=1,2,\dots ,n.\left(1.1\right)$$ Система функций $y_i=y_i\left(x,C_1,C_2,\dots ,C_m\right),$ $i=1,2,\dots ,n$ называется общим решением системы (1.1) в области $G,$ если, выбирая соответствующим образом посто- янные $C_1,C_2,\dots ,C_m,$ можно получить любое решение, проходящее в этой области. <br/> Чаще всего $m=n.$ <br/> <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325003">Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям.(c. 56-60)</a> , а также см. с. 28—30. <br/> <b> Определение </b> 2. $$ Говорят, что ОДУ $$\stackrel{?}{x}=f\left(t,x\right)$$ обладает локальным свойством существования и единственности решения в области $G$ плоскости $\left(t,x\right),$ если оно определено в этой области и для любых $\left(t_0,x_0\right)$ из этой области существует решение начальной задачи $\left\{\stackrel{?}{x}=f\left(t,x\right),x\left(t_0\right)=x_0\right\},$ определенное на некотором промежутке $\left(t_0-h,t_0+h\right),$ и если любые два решения, проходящие через одну и ту же точку $\left(t_0,x_0\right),$ совпадают на общей области определения. <br/> <b> Теорема </b> 1. $$ Пусть для ОДУ $$\stackrel{?}{x}=f\left(t,x\right)$$ в области $G$ выполнено локальное свойство существования и единственности и пусть есть формула (формулы), описывающая семейство решений этого уравнения. Для того чтобы эта формула (формулы) являлась общим решением уравнения, необходимо и достаточно, чтобы для любых $\left(t_0,x_0\right)$ из области $G$ нашлось реше- ние $x\left(t\right)$ из указанного семейства, удовлетворяющее начальному условию $x\left(t_0\right)=x_{0.}$ <br/> <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325036">Дифференциальные уравнения. Изд. 4-е, стереотип.(c. 27-30)</a> . <br/> <b> Определение </b> 3. $$ Пусть $dy/dx=f\left(x,y\right)$ (или $dx/dy=1/f\left(x,y\right)).$ Если выражение вида $?\left(x,y,C\right)=0,$ в котором $C$ рассматривается как параметр, определяет все множество решений соответствующего ОДУ, то это выражение называется общим интегралом данного дифференциального уравнения, а полученное из него выражение $y=y\left(x,C\right)$ (или $x=x\left(y,C\right)),$ содержащее все решения данного уравнения, называется общим решением данного ОДУ. <br/> <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325040">Курс математического анализа. Ч.2. Пособие для физ.-матем. факультетов пед. институтов.(c. 231-232)</a> . <br/> <b> Определение </b> 4. $$ Пусть функция $f\left(x,y\right)$ непрерывна и имеет ограниченную производную ${f_y}^{\text{'}}\left(x,y\right)$ в некоторой окрестности точки $\left(x_0,y_0\right).$ Решение $y=y\left(x\right)$ уравнения $y^{\text{'}}=f\left(x,y\right),$ удовлетворяющее условию $y\left(x_0\right)=y_0,$ называется частным решением этого уравнения. Множество всех частных решений этого уравнения — общее решение данного уравнения. <br/> Геометрически общее решение выражается семейством интегральных кривых. Это семейство зависит от одного параметра. <br/> <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325044">Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.(c. 86-87)</a> . <br/> <b> Определение </b> 5. $$ Общим решением ОДУ $n$ -го порядка называется множество решений, состоящее из всех без исключения частных решений. Если правая часть уравнения $$y^{\left(n\right)}=f\left(x,y,y^{\text{'}},y^{\text{'}}\text{'},\dots ,y^{\left(n-1\right)}\right)\left(1.2\right)$$ в некоторой области изменения аргументов удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности, то общее решение уравнения (1.2) зависит от $n$ параметров, в качестве которых могут быть выбраны, например, начальные значения искомой функции и ее производных $y_0,{y_0}^{\text{'}},{y_0}^{\text{'}}\text{'},\dots ,y_0^{\left(n-1\right)}.$ <br/> <br/> <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325024">Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Учебное пособие. Изд. 5-е, дополн.(c. 30-40)</a> ; <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325011">Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. Изд. 3-е, перераб. и дополн.(c. 84-88)</a> , 207—223. <br/> Первое определение общего решения по Н . П . Еругину (1939 г .). <br/> Функция $$y=\left(x,C\right),\left(1.3\right)$$ непрерывно дифференцируемая относительно независимой переменной $x$ и непрерывная относительно произвольной постоянной $C,$ называется общим решением уравнения $$\frac{dy}{dx}=f\left(x,y\right)\left(1.4\right)$$ в открытой односвязной области $D$ изменения переменных $x$ и $y,$ если уравнение(1.3) разрешимо относительно $C$ в области $D,$ так что при любых значениях $x$ и $y,$ для которых точка $\left(x,y\right)?D,$ равенством (1.3) определяется значение постоянной $$?\left(x,y\right)=C$$ и если подстановка этого значения $C$ в формулу $$y^{\text{'}}={}_x\left(x,C\right),$$ полученную дифференцированием равенства (1.3) по независимой переменной $x,$ приводит к уравнению (1.4) в области $D,$ т. е. $${{}_x}^{\text{'}}\left[x,?\left(x,y\right)\right]?f\left(x,y\right)\text{x xxxxxxx}D.$$ <br/> Н. П.Еругин сформулировал также еще второе определение общего решения уравнения (1.4) в области $D$ и установил эквивалентность этих определений. <br/> Второе определение общего решения по Н . П . Еругину (1939 г .). <br/> Функция (1.3), непрерывно дифференцируемая относительно $x$ и непрерывная относительно произвольной постоянной $C,$ называется общим решением уравне- ния (1.4) в области $D$ изменения переменных $x$ и $y,$ если она является решением уравнения (1.4) при всех значениях произвольной постоянной $C$ (или при всех значениях $C$ из некоторой области) и если соответствующим выбором значения этой произвольной постоянной функция (1.3) дает возможность решить любую задачу Коши в области $D$ (т. е. найти решение с начальными условиями $y=y_0$ при $x=x_0,$ где $\left(x_0,y_0\right)$ — любая точка области $D).$ <br/> <b> Замечание </b> 1. $$ В обоих определениях общего решения уравнения (1.4) под областью $D$ понимают область, в которой обеспечены существование и единственность решения задачи Коши. <br/> <b> Замечание </b> 2. $$ Пусть $\left(x_0,y_0\right)?D.$ Формула общего решения (1.3) может быть представлена в виде $$y=\left(x,x_0,y_0\right).\left(1.5\right)$$ Формула (1.5) называется общим решением уравнения (1.4) в форме Коши. <br/> <b> Определение </b> 6. $$ Решение, которое можно получить из общего решения (общего интеграла) при частном значении произвольной постоянной, включая $\pm ,$ называется частным решением. Геометрически частному решению соответствует интегральная кривая, содержащаяся в семействе интегральных кривых, составляющих общее решение. <br/> <b> Замечание </b> 3. $$ Доказательство существования общего решения по Н. П.Еру- гину нормальной системы дифференциальных уравнений см., например, в книге: Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Учебное пособие. Изд. 5-е, дополн.(c. 306-313) .
Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Изд. 6-е, исправл.(c. 15-15) , Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Изд. 3-е.(c. 12-13) .

А. Функцию $\left(x,C_1,C_2,\dots ,C_n\right)$ назовем общим решением рассматриваемого ОДУ $y^{\text{'}}=f\left(x,y\right)$ в области $G,$ если при соответствующем выборе постоянных $C_1,C_2,\dots$ $\dots ,C_n$ эта функция обращается в любое решение этого уравнения, график которого лежит в $G.$ <br/> <p> Б. Уравнение $?\left(x,y,C_1,C_2,\dots ,C_n\right)=0$ называем общим интегралом данного ОДУ в области $G,$ если при соответствующем выборе постоянных $C_1,C_2,\dots ,C_n$ это уравнение дает любую интегральную кривую нашего ОДУ, проходящую в области $G.$ Обычно считают $n=1.$ См. также <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325034">Курс дифференциальных уравнений. Изд. 8-е, стереотип.(c. 13-15)</a> , 67—68. <br/> <p> $2^{?}.$ О ОДУ первого порядка от параметров и начальных значений . Дифференцируемость решений ОДУ первого порядка . <br/> <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325031">Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Изд. 3-е.(c. 68-72)</a> ; <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325030">Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Изд. 6-е, исправл.(c. 74-81)</a> . <br/> <b> Теорема </b> 2. $$ Если функция $f\left(x,y\right),$ заданная на области $G,$ непрерывна, ограничена, и если через каждую внутреннюю точку $\left(x_0,y_0\right)$ этой области проходит только одно решение дифференциального уравнения $$\frac{dy}{dx}=f\left(x,y\right),$$ то это решение непрерывно зависит от точки $\left(x_0,y_0\right).$ <br/> <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325030">Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Изд. 6-е, исправл.(c. 82-87)</a> ; <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325031">Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Изд. 3-е.(c. 73-77)</a> . <br/> <b> Теорема </b> 3. $$ Пусть дано дифференциальное уравнение $$\frac{dy}{dx}=f\left(x,y,{?}_1,{?}_2,\dots ,{?}_n\right).\left(2.6\right)$$ Пусть ${}_{xy}$ есть некоторая замкнутая область на плоскости $\left(x,y\right).$ Через $$ обозна- чим множество таких точек $\left(x,y,{?}_1,\dots ,{?}_n\right),$ что: <br/> а) $$ точки $\left(x,y\right)$ принадлежат ${}_{xy};$ <br/> б) $\left|{?}_i\right|<{?}_i^0$ $\left(1,2,\dots ,n\right),$ где ${?}_i^0$ — некоторые положительные постоянные. <br/> Тогда: <br/> <p> $1)$ Если $f\left(x,y,{?}_1,\dots ,{?}_n\right)$ непрерывна в $$ по совокупности всех своих аргументов, ограничена и удовлетворяет там условию Липшица по $y$ : $$|f\left(x,y_2,{?}_1,\dots ,{?}_n\right)-f\left(x,y_1,{?}_1,\dots ,{?}_n\right)|?K|y_2-y_1|$$ $(K$ не зависит от переменных $x,y$ и $?),$ то для каждой точки $\left(x_0,y_0\right),$ лежащей внут- ри ${}_{xy},$ можно указать на оси $Ox$ такой замкнутый интервал $\left[a,b\right],$ заключающий внутри себя точку $x_0,$ на котором решение дифференциального уравнения (2.6), об- ращающееся в $y_0$ при $x=x_0,$ непрерывно по совокупности переменных $x,{?}_1,{?}_2,\dots$ $\dots ,{?}_n.$ <br/> <p> $2)$ Если $f$ и ее производные до $p$ -го $\left(p?1\right)$ порядка по $y$ и всем $?$ внутри $$ непрерывны по совокупности $x,y,{?}_1,\dots ,{?}_n$ и ограничены, то решение $y\left(x,{?}_1,\dots ,{?}_n\right)$ будет иметь по параметрам $?$ непрерывные по совокупности $x,{?}_1,\dots ,{?}_n$ производные также до $p$ -го порядка, когда $x$ принадлежит замкнутому интервалу $\left[a,b\right],$ о котором говорилось в предыдущем пункте, а $\left|{?}_i\right|<{?}_i^0$ $\left(i=1,2,\dots ,n\right).$ <br/> правая часть уравнения $y^{\text{'}}=f\left(x,y\right)$ имеет по $x$ и $y$ непрерывные производные до $p$ -го порядка, то функция $y\left(x,x_0,y_0\right),$ которая удовлетворяет этому уравнению и при $x=x_0$ обращается в $y_0,$ имеет непрерывные производные по $x_0$ и $y_0$ также до $p$ -го порядка $\left(p?1\right).$ <br/> <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325036">Дифференциальные уравнения. Изд. 4-е, стереотип.(c. 58-66)</a> . <br/> $f\left(y,t,?\right)$ определена и непрерывна по совокупности переменных в области $$D=\left\{|t-t_0|?a,|y-y_0|?b,|?-{?}_0|?c\right\}$$ и удовлетворяет в этой области условию Липшица по $y$ <br/> <br/> $$|f\left(y_1,t,?\right)-f\left(y_2,t,?\right)|?N(y_1-y_2|,$$ где $N$ — одна и та же постоянная для всех $?$ из отрезка $|?-{?}_0|?c.$ <br/> Тогда решение $y\left(t,?\right)$ задачи $$\left\{\frac{dy}{dx}=f\left(y,t,?\right),y\left(t_0\right)=y_0\right\},$$ определенное на отрезке $\left[t_0,t_0+H\right],$ непрерывно по $?$ при любом $?$ из отрезка $|?-{?}_0|?c.$ (Здесь $H=\min \left(a,b/M\right)$ и $\left|f\left(y,t,?\right)\right|?M<$ в области $D.)$ <br/> <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325044">Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.(c. 56-57)</a> . <br/> <b> Теорема </b> 5. $$ Если в окрестности точки $\left(x_0,y_0\right)$ функция $f\left(x,y\right)$ имеет непрерыв- ные производные до $k$ -го порядка включительно, то решение $y\left(x\right)$ уравнения $$\frac{dy}{dx}=f\left(x,y\right),$$ удовлетворяющее начальному условию $y\left(x_0\right)=y_0,$ в некоторой окрестности точ- ки $\left(x_0,y_0\right)$ имеет непрерывные производные до $\left(k+1\right)$ -го порядка включительно. <br/> <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325030">Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Изд. 6-е, исправл.(c. 69-73)</a> ; <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325031">Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Изд. 3-е.(c. 62-67)</a> . <br/> Коши). $$ Если функция $f\left(x,y\right)$ голоморфна в окрестности точки $\left(x_0,y_0\right),$ то существует, и причем только одно, решение дифференциального уравнения $$\frac{dy}{dx}=f\left(x,y\right),$$ голоморфное в окрестности точки $x_0$ и удовлетворяющее условию $y\left(x_0\right)=y_{0.}$ <br/> <p> $3^{?}.$ Особые решения ОДУ первого порядка <br/> <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325030">Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Изд. 6-е, исправл.(c. 87-88)</a> ; <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325031">Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Изд. 3-е.(c. 77-88)</a> . <br/> <b> Определение </b> 7. $$ Пусть точка $P$ лежит внутри области $G,$ где рассматривается ОДУ $$\frac{dy}{dx}=f\left(x,y\right)\left(3.1\right)$$ или $$\frac{dx}{dy}=f_1\left(x,y\right),\left(3.2\right)$$ или на ее границе, где уравнение (3.1) или (3.2) также может быть задано. Если можно указать такую окрестность $A$ точки $P,$ что через каждую точку этой окрестности проходит одна и только одна интегральная линия и, кроме того, одна из функ- ций $f\left(x,y\right)$ и $f_1\left(x,y\right)$ в $A$ непрерывна, то точку $P$ называют обыкновенной точкой уравнения (3.1) или (3.2). Если точка $P$ не является обыкновенной, то она называ- ется особой точкой для уравнения (3.1) или (3.2). <br/> <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325024">Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Учебное пособие. Изд. 5-е, дополн.(c. 313-315)</a> . <br/> <b> Определение </b> 8. $$ Точка $\left(x_0,y_0\right)$ называется особой точкой уравнения (3.1), если в любой достаточно малой окрестности ее правые части уравнений (3.1) и (3.2) не удовлетворяют условиям теоремы Пикара. Все остальные точки называются неособыми. <br/> Особая точка $\left(x_0,y_0\right)$ называется изолированной особой точкой, если в некоторой достаточно малой окрестности ее нет других особых точек. <br/> <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325044">Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.(c. 57-61)</a> . <br/> <b> Определение </b> 9. $$ Точки $\left(x_0,y_0\right),$ в окрестности которых решения уравнения (3.1), удовлетворяющего условию $y\left(x_0\right)=y_0,$ не существует или решение существует, но не единственно, называются особыми точками. <br/> <br/> <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325017">Обыкновенные дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления.(c. 108-114)</a> . <br/> <b> Определение </b> 10. $$ Решение $x=\left(t\right)$ уравнения $$F\left(t,x,\stackrel{?}{x}\right)=0\left(3.3\right)$$ называется особым решением, если через каждую его точку кроме этого решения проходит и другое решение, имеющее в этой точке ту же касательную, что и решение $x=\left(t\right),$ и отличное от него в любой окрестности этой точки. Интегральная кривая, соответствующая особому решению, называется особой интегральной кривой уравнения (3.3). <br/> <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325024">Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Учебное пособие. Изд. 5-е, дополн.(c. 33-36)</a> . <br/> <b> Определение </b> 11. $$ Решение, не получающееся из общего решения (общего интеграла) ни при каком частном значении произвольной постоянной, включая $\pm ,$ и проходящее в области, где правая часть уравнения (3.1) или уравнения (3.2) $f_1\left(x,y\right)=1/f\left(x,y\right),$ непрерывна, называется особым решением. Геометрически особому решению соответствует интегральная кривая, не содержащаяся в семействе интегральных кривых, составляющих общее решение (общий интеграл). <br/> <b> Замечание </b> 4. $$ По поводу определения 11 см. сноску в книге Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Учебное пособие. Изд. 5-е, дополн.(c. 33-33) , а также гл. V этой книги.
Определение 12. $$ Кривая, состоящая сплошь из особых точек (см. Определе- ние 9), называется особой. Если график некоторого решения сплошь состоит из особых точек, то решение называется особым.
Курс дифференциальных уравнений. Изд. 8-е, стереотип.(c. 120-135) .
Замечание 5. $$ Если правая часть ОДУ (3.1) непрерывна в рассматриваемой области, то особые решения могут проходить только через те точки, в которых не выполняется условие Липшица.
Основы математического анализа. Ч.1. Изд. 3-е, исправл. и дополн.(c. 560-575) .
Пусть семейство плоских кривых задано уравнением $$F\left(x,y,?\right)=0,\left(3.4\right)$$ где $F$ — функция трех переменных $x,y,?,$ дифференцируемая в области ее задания, и, кроме того, уравнением (3.4) для каждого значения параметра $?$ (из некоторого множества) определяется кривая $L_{?}$ семейства. Тогда говорят, что соотношение(3.4) определяет однопараметрическое семейство плоских кривых, а $?$ — параметр семейства. <br/> <b> Определение </b> 13. $$ Огибающей однопараметрического семейства кривых (3.4) называется кривая, которая:
1) $$ в каждой своей точке касается только одной кривой семейства (3.4);
2) $$ в разных точках касается различных кривых указанного семейства.
Курс математического анализа. Ч.2. Пособие для физ.-матем. факультетов пед. институтов.(c. 278-286) .
Определение 14. $$ Огибающей семейства плоских кривых, зависящего от одного параметра, называется такая кривая, которая в каждой своей точке касается одной из кривых семейства, причем имеет касание с каждой кривой семейства.
Справочное пособие по высшей математике. Т.5 (с.99-100) .
Определение 15. $$ Пусть функция $F=F\left(x,y,y^{\text{'}}\right)$ непрерывна и имеет непрерывные частные производные первого порядка. Геометрическое место точек $\left(x,y\right)=0,$ получаемых путем исключения $y^{\text{'}}$ из уравнений $$F\left(x,y,y^{\text{'}}\right)=0,\frac{F\left(x,y,y^{\text{'}}\right)}{y^{\text{'}}}=0,$$ называется дискриминантной кривой ОДУ $F\left(x,y,y^{\text{'}}\right)=0.$ <br/> <br/> <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325017">Обыкновенные дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления.(c. 108-114)</a> . <br/> Пусть функция $F\left(t,x,\stackrel{?}{x}\right)$ (см. (3.3)) определена и непрерывна вместе с производ- ными ${F_x}^{\text{'}},{F_p}^{\text{'}}$ $\left(p=\stackrel{?}{x}\right)$ на некотором открытом множестве в пространстве перемен- ных $t,x,p.$ <br/> Пусть далее $$f\left(t,x,c\right)=0\left(3.5\right)$$ — уравнение однопараметрического семейства кривых на плоскости $t,x;$ $c$ — пара- метр. При этом предполагается, что функция $f$ и ее производные ${f_t}^{\text{'}},{f_x}^{\text{'}},{f_c}^{\text{'}}$ непре- рывны на некотором открытом множестве $E$ пространства переменных $t,x,c,$ а также ${\left({f_t}^{\text{'}}\right)}^2+{\left({f_x}^{\text{'}}\right)}^2?0$ на множестве $E.$ <br/> <b> Определение </b> 16. $$ Гладкая кривая $t=\left(c\right),$ $x=?\left(c\right)$ $({}^{\text{'}}$ и ${?}^{\text{'}}$ непрерывны и ${\left({}^{\text{'}}\right)}^2+{\left({?}^{\text{'}}\right)}^2?0$ при $c_1<c<c_2)$ называется огибающей однопараметрического се- мейства кривых (3.5), если в каждой своей точке $\left(\left(c\right),?\left(c\right)\right)$ она касается кривой семейства, соответствующей значению параметра $c,$ и отлична от нее в любой окрестности этой точки. <br/> <b> Теорема </b> 7. $$ Если $t=\left(c\right),$ $x=?\left(c\right)$ $(c_1<c<c_2)$ — огибающая однопараметрического семейства кривых (3.5), то функции $t=\left(c\right)$ и $x=?\left(c\right)$ удовлетворяют уравнениям $$f\left(t,x,c\right)=0,{f_c}^{\text{'}}\left(t,x,c\right)=0.$$ <br/> <b> Теорема </b> 8. $$ Если $x=\left(t\right)$ — особое решение уравнения (3.3), то оно удовлетворяет уравнениям $$F\left(t,x,\stackrel{?}{x}\right)=0,{F_p}^{\text{'}}\left(t,x,\stackrel{?}{x}\right)=0\left(p=\stackrel{?}{x}\right)$$ <br/> <b> Следствие из теоремы </b> 8. $$ Каждое особое решение уравнения (3.3) является дискриминантной кривой этого уравнения. Обратное неверно.
Теорема 9. $$ Пусть $$?\left(t,x,c\right)=0\left(3.6\right)$$ — однопараметрическое семейство решений уравнения (3.3), имеющее огибающую $x=\left(t\right)$ $(t_1<t<t_2).$ Тогда эта огибающая есть особая интегральная кривая уравнения (3.3) <br/> <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325044">Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.(c. 80-82)</a> . <br/> <b> Замечание </b> 6. $$ Чтобы некоторая ветвь дискриминантной кривой заведомо была огибающей семейства (3.6), достатчно, чтобы на ней:
1) $$ существовали ограниченные по модулю частные производные $$\left|\frac{?}{t}\right|?N_1<,\left|\frac{?}{x}\right|?N_2<;$$ <br/> 2) $\frac{?}{t}?0$ \ или \ $\frac{?}{x}?0,$ \ $\left[{\left({{?}_t}^{\text{'}}\right)}^2+{\left({{?}_x}^{\text{'}}\right)}^2?0\right].$ <br/> См. также, например, <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325014">Основы математического анализа. Ч.1. Изд. 3-е, исправл. и дополн.(c. 560-575)</a> ; <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325029">Краткий курс дифференциальной геометрии. Изд. 2-е.(c. 39-43)</a> . <br/> <b> Замечание </b> 7. $$ О правилах нахождения особых решений ОДУ первого порядка вида $y^{\text{'}}=f\left(x,y\right)$ и $F\left(x,y,y^{\text{'}}\right)=0$ с примерами см. <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325024">Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Учебное пособие. Изд. 5-е, дополн.(c. 339-361)</a> ; <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325044">Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.(c. 75-84)</a> ; <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325034">Курс дифференциальных уравнений. Изд. 8-е, стереотип.(c. 120-135)</a> ; <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325004">Справочное пособие по высшей математике. Т.5 (с.99-106)</a> и др. <br/> <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325024">Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Учебное пособие. Изд. 5-е, дополн.(c. 129-130)</a> , 343, 361. <br/> <b> Пример </b> . $$y^{?1pt3}-4x?y?y^{\text{'}}+8y^2=0\left(3.7\right)$$ Общее решение уравнения имеет вид: <br/> <br/> где $c$ — произвольная постоянная; $y=0$ и $y=4x^3/27$ — огибающие семейства интегральных кривых (3.8). Каждая из этих огибающих является особым решением уравнения (3.7). Особое решение $y=0$ получается из общего решения (3.8) не только при $c=0,$ но и при $c=x.$ <br/> <b> Замечание </b> 8. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"/> Т . Б . , В . А . Залгаллер , Об изложении теории огибающих (методическая заметка) // УМН, т. XVIII, вып. 5 (113), сентябрь—октябрь 1963, с. 147—149/ <br/> В этой математической заметке помещены некоторые критические замечания по поводу изложения материала об огибающих в учебной литературе. <br/>