Одношаговый метод решения ОДУ

Пусть $$y^{\text{'}}=f\left(x,y\right),y\left(x_0\right)=y_0,\left(1\right)$$ функция $f$ непрерывна в области $|x-x_0|?a<,$ $|y-y_0|?b?,$ и удовлетворяет условиям, обусловленным методами решения. <br/> <p> $1^{?}.$ <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325016">Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Пер. с немецк. С.В.Фомина. Изд. 2-е, перераб. и дополн.(c. 171-174)</a> , <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325044">Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.(c. 61-62)</a> , <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325075">Численные методы решения дифференциальных уравнения. Пер. с нем. В.С.Рябенького и Л.А.Чудова.(c. 24-31)</a> , <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325073">Численные методы анализа. Приближение функций. Дифференциальные уравнения / Под ред. Б.П.Демидовича.(c. 152-155)</a> , <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325076">Вычислительная математика в примерах и задачах.(c. 128-135)</a> , <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325091">Элементы численного анализа и математической обработки результатов опыта. Изд. 2-е, перераб. (с.105-128)</a> . <br/> <br/> $$x_i=x_0+ih,y_{i+1}=y_i+h?f\left(x_i,y_i\right),i=0,1,2,\dots$$ Здесь $h$ — шаг метода, который по ходу вычисления можно менять. Недостатки: малая точность, систематическое накопление ошибок, что имеет место в определенной мере <br/> <br/> во всех схемах вычисления по Эйлеру. Отметим, что Эйлера ломаные используются (1) ( <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325044">Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.(c. 39-47)</a> ). Как одношаговый метод, Эйлера метод ломаных — самостартующий. <br/> <br/> $$x_{i+1/2}=x_i+\frac{h}{2},y_{i+1/2}=y_i+\frac{h}{2}{f}_i,\text{xxx}{f}_i=f\left(x_i,y_i\right);$$ $$f_{i+1/2}=f\left(x_{i+1/2},y_{i+1/2}\right)\text{x}{y}_{i+1}=y_i+h?f_{i+1/2}.$$ В итоге: $$y_{i+1}=y_i+h?f(x_i+\frac{h}{2},y_i+\frac{h}{2}?f\left(x_i,y_i\right),i=0,1,2,\dots$$ <br/> <br/> $$y_{i+1}=y_i+h?f_i,f_i=f\left(x_i,y_i\right),f_{i+1}=f\left(x_{i+1},y_{i+1}\right),y_{i+1}=y_i+h?\frac{f_i+f_{i+1}}{2}.$$ В итоге имеем: $$y_{i+1}=y_i+\frac{h}{2}\left[f\left(x_i,y_i\right)+f\left(x_{i+1},y_i+h?f\left(x_i,y_i\right)\right)\right],i=0,1,2,\dots$$ <br/> <br/> <br/> Для каждого значения $y_i$ применяется итерационная обработка: $$y_{i+1}^{\left(0\right)}=y_i+h?f\left(x_i,y_i\right)$$ — грубое приближение; далее $$y_{i+1}^{\left(k\right)}=y_i+\frac{h}{2}\left[f\left(x_i,y_i\right)+f\left(x_{i+1},y_{i+1}^{\left(k-1\right)}\right)\right],k=1,2,\dots \left(2\right)$$ Итерационный процесс продолжают до тех пор, пока последовательные приближения $$y_{i+1}^{\left(m\right)}\text{x}{y}_{i+1}^{\left(m+1\right)}\left(3\right)$$ не совпадут в заданном числе знаков. <br/> Если последнее имеет место, то $y_{i+1}?y_{i+1}^{\left(m\right)},$ где $y_{i+1}^{\left(m\right)}$ — общая часть приближений (3). Используется также при необходимости уменьшения шага $h.$ <br/> <p> $2^{?}.$ <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325070">Численные методы. Т.1. Анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения. Изд. 2-е, стереотип.(c. 160-168)</a> , <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325078">Вычислительные методы. Т.II.(c. 21-59)</a> , <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325016">Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Пер. с немецк. С.В.Фомина. Изд. 2-е, перераб. и дополн.(c. 173-175)</a> , <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325075">Численные методы решения дифференциальных уравнения. Пер. с нем. В.С.Рябенького и Л.А.Чудова.(c. 31-45)</a> , 431, <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325079">Численные методы для быстродействующих вычислительных машин. Пер. с англ. И.А.Брина / Под ред. В.М.Курочкина.(c. 70-77)</a> , <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325082">Лекции по методам вычислений.(c. 249-259)</a> , Н . В . Копченова , И . А . Марон , c. 206—215, <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325081">Численное решение дифференциальных уравнений. Пер. с англ. / Под ред. М.Р.Шура-Бура.(c. 80-87)</a> , <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325088">Машинные методы математических вычислений. Пер. с англ. Х.Д.Икрамова.(c. 136-137)</a> , <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325091">Элементы численного анализа и математической обработки результатов опыта. Изд. 2-е, перераб.</a> <br/> См. также статью В . В . Бобкова «Рунге—Кутта метод» в Математической Энциклопедии, т. 4, Ок-Сло, 1984, с. 1056—1058. <br/> <b> Замечание </b> 1. $$ В настоящей статье приведены только некоторые модификации метода Рунге—Кутта.

А) Рунге—Кутта метод решения ОДУ $$y_{i+1}=y_i+\frac{1}{6}\left(k_1^{\left(i\right)}+2k_2^{\left(i\right)}+2k_3^{\left(i\right)}+k_4^{\left(i\right)}\right),i=0,1,2,\dots ,$$ где (см. (1)): <br/> <br/> $$k_1^{\left(i\right)}=h?f\left(x_i,y_i\right),k_2^{\left(i\right)}=h?f\left(x_i+2,y_i+2\right),$$ $$k_3^{\left(i\right)}=h?f\left(x_i+2,y_i+2\right),k_4^{\left(i\right)}=h?f(x_i+h,y_i+k_3^{\left(i\right)}.$$ В дальнейшем опускаем в формулах верхние индексы (« $i$ »). <br/> <p> Б) Формула « трех восьмых » ( ОДУ ) $$y_{?+1}-y_{?}=\frac{1}{8}\left(k_1+3k_2+3k_3+k_4\right),?=0,1,2,\dots ,$$ где $$k_1=h?f\left(x_{?},y_{?}\right),k_2=h?f\left(x_{?}+13h,y_{?}+13k_1\right),$$ $$k_3=h?f\left(x_{?}+23h,y_{?}-13k_1+k_2\right),k_4=h?f\left(x_{?}+h,y_{?}+k_1-k_2+k_3\right).$$ Методы, реализуемые формулами А) и Б), — четвертого порядка точности. О прави- лах выбора шага $h$ см. цитированную литературу. <br/> <p> В) Рунге—Кутта—Гилла метод решения ОДУ $$y_{n+1}=y_n+\frac{1}{3}\left(12k_1+32k_2+12k_3+12k_4\right),n=0,1,2,\dots ,$$ где $$k_1=h?f\left(x_n,y_n\right),k_2=h?f\left(x_n+12h,y_n+12k_1\right),$$ $$k_3=h?f\left(x_n+12h,y_n-12k_1+k_2\right),k_4=h?f\left(x_n+h,y_n+12k_2+12k_3\right).$$ <br/> <p> Г) Рунге—Кутта—Мерсона метод решения ОДУ $$y_{n+1}=y_n+\frac{1}{2}\left(k_1+4k_4+k_5\right),n=0,1,2,\dots ,$$ где $$k_1=13h?f\left(x_n,y_n\right),k_2=13h?f\left(x_n+13h,y_n+k_1\right),$$ $$k_3=13h?f\left(x_n+13h,y_n+12k_1+12k_2\right),k_4=13h?f\left(x_n+12h,y_n+38k_1+98k_3\right),$$ $$k_5=13h?f\left(x_n+h,y_n+32k_1-92k_3+6k_4\right).$$ Методы, помеченные выше пп. В) и Г), — четвертого порядка точности. <br/> <p> Д) Рунге—Кутта—Нистр\" е ма метод решения ОДУ (метод пятого порядка точности) $$y_{n+1}=y_n+\frac{1}{192}\left(23k_1+125k_3-81k_5+125k_6\right),n=0,1,2,\dots ,$$ где $$k_1=h?f\left(x_n,y_n\right),k_2=h?f\left(x_n+3,y_n+3\right),$$ $$k_3=h?f\left(x_n+\frac{2h}{5},y_n+\frac{6k_2+4k_1}{25}\right),k_4=h?f\left(x_n+h,y_n+4\right),$$ <br/> <br/> $$k_5=h?f\left(x_n+3,y_n+\frac{8k_4-50k_3+90k_2+6k_1}{81}\right).$$ $$k_6=h?f\left(x_n+5,y_n+\frac{8k_4+10k_3+36k_2+6k_1}{75}\right).$$ <br/> <b> Замечание </b> 2. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"/> Общую характеристику одношаговых методов, явных численных методов, в частности приведенных в данной статье ЛСУ, а также о неявных численных — см. цитированную литературу. <br/>