Коши задача ОДУ первого порядка

$1^{?}.$ Существование решения Коши задачи <br/> <b> Теорема </b> 1. $$ ( И . Г . Петровский , с. 40—44.)
Если функция $f\left(x,y\right)$ (см. (1)) ограничена и непрерывна в области $G,$ то через каждую точку $\left(x_0,y_0\right)$ этой области проходит по крайней мере одна интегральная линия уравнения (1). <br/> В . В . Степанов , с. 68—74.) <br/> Пусть функция $f\left(x,y\right)$ непрерывна в области $|x-x_0|?a,$ $|y-y_0|?b.$ Обозначим через $M$ максимум $\left|f\left(x,y\right)\right|$ в этой области и через $h$ наименьшее из чисел $a,b/M.$ Тогда в интервале $|x-x_0|?h$ существует по крайней мере одно решение уравне- ния (1), $y=\left(x\right),$ удовлетворяющее начальному условию: $\left(x_0\right)=y_{0.}$ <br/> В . Ф . Зайцев , А . Д . Полянин , с. 10—11.) <br/> Пусть функция $f\left(x,y\right)$ непрерывна в открытой области $D$ плоскости $xy.$ Тогда через каждую точку $\left(x_0,y_0\right)$ области $D$ проходит по крайней мере одна интегральная <br/> <br/> кривая уравнения (1), и каждая из этих кривых может быть продолжена в обе стороны вплоть до границы любой замкнутой области, целиком содержащейся в $D$ и содержащей точку $\left(x_0,y_0\right)$ внутри себя. <br/> также приведенное в лекциях — <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325003">Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям.(c. 416-423)</a> доказательство теоремы Пеано, предложенное Л.Тоннели, книги: Н . М . Матвеев , <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325041">Обыкновенные дифференциальные уравнения. Пер. с англ. И.Х.Сабитова и Ю.В.Егорова / Под ред. В.М.Алексеева.</a> <br/> <p> $2^{?}.$ Существование и единственность Коши задачи <br/> Осгуда о единственности; <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325030">Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Изд. 6-е, исправл.(c. 48-52)</a> .) <br/> Если функция $f\left(x,y\right)$ для любой пары точек $\left(x,y_1\right)$ и $\left(x,y_2\right)$ области $G$ удовлетворяет условию $$|f\left(x,y_2\right)-f\left(x,y_1\right)|?\left(|y_2-y_1|\right),\left(3\right)$$ где $\left(u\right)>0$ при $0<u?a$ непрерывна и такова, что $$?a\frac{du}{\left(u\right)},$$ когда $?0,$ то через каждую точку $\left(x_0,y_0\right)$ области $G$ проходит не больше одной интегральной линии уравнения (1). <br/> <b> Замечание </b> 2. $$ Если $\left(u\right)?k?u$ $(k>0$ — постоянная), то неравенство (3) становит- ся условием Липшица. <br/> <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325031">Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Изд. 3-е.(c. 50-56)</a> .) <br/> Пусть в замкнутой области $$ на плоскости $\left(x,y\right)$ функция $f\left(x,y\right)$ ограничена, непрерывна по $x$ и удовлетворяет условию Липшица по $y$ $$|f\left(x,y_2\right)-f\left(x,y_1\right)|?k|y_2-y_1|.$$ Тогда для любой внутренней точки $\left(x_0,y_0\right)$ из $G$ можно указать такой заключающий внутри себя $x_0$ замкнутый интервал $\left[a,b\right]$ на оси $Ox,$ на котором существует единственное решение дифференциального уравнения (1), обращающееся в $y_0$ при $x=x_{0.}$ <br/> Н . А . Фролов , с. 256—264.) <br/> Пусть дано уравнение $$\frac{dy}{dx}=f\left(x,y\right)\left(4\right)$$ с начальным условием $$y\left(x_0\right)=y_{0.}\left(5\right)$$ Если: <br/> <p> 1) функция $f\left(x,y\right)$ непрерывна в замкнутом прямоугольнике $$R=\{|x-x_0|?a<,|y-y_0|?b<\}$$ и число $M<$ таково, что $\max \left|f\left(x,y\right)\right|?M$ в этом прямоугольнике, <br/> <p> 2) функция $f\left(x,y\right)$ в области $R$ удовлетворяет условию Липшица относительно аргумента $y$ $$|f\left(x,y_1\right)-f\left(x,y_2\right)|?A|y_1-y_2|,\left(A\text{– xxxxxxxxx}\right),$$ то на отрезке $\left[x_0-h,x_0+h\right],$ $h=\min \left(a,b/M\right),$ существует единственное решение задачи Коши (4)—(5), к которому равномерно сходится при $n$ последовательность $\left\{y_n\right\},$ где $y_n$ определяются соотношениями: $$y_0=y\left(x_0\right),y_{n+1}=y_0+x_{0}xf\left(t,y_n\left(t\right)\right)dt,n=0,1,2,\dots$$ <br/> <br/> В . В . Степанов , с. 64—67.) <br/> Если $f\left(x,y\right)$ $\left[y^{\text{'}}=f\left(x,y\right)\right]$ определена и непрерывна во всей плоскости $xOy$ и удовлетворяет условию Липшица во всякой ограниченной области этой плоскости, то всякая интегральная кривая при возрастании $x$ или неограниченно продолжаема до $x=+,$ или имеет вертикальную асимптотику при конечном значении $x=\stackrel{?}{x}.$ <br/> Аналогичное утверждение справедливо при убывании $x.$ <br/> <b> Пример </b> . $$ ( Л . Э . Эльсгольц , с. 47.)
Пусть $y^{\text{'}}=y^2,$ $y\left(1\right)=1.$ Решение имеет вид $y=-1/\left(x-2\right).$ Интегральная кривая продолжаема лишь до асимптоты $x=2$ $(-<x<2).$ <br/> <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325030">Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Изд. 6-е, исправл.(c. 61-69)</a> ; Л . А . Люстерник , В . И . Соболев , с. 40—46.) <br/> Пусть имеется непустое семейство $\left\{\right\}$ функций, определенных на одном и том же множестве $R$ и обладающих следующими свойствами: <br/> <p> 1. Каждая функция $$ ограничена (быть может, своей константой) $$\left|\right|?M.$$ <br/> <p> 2. Предел всякой равномерно сходящейся последовательности функций семейства также есть функция этого семейства. <br/> <p> 3. На данном семействе $\left\{\right\}$ определен оператор $A\left(\right),$ которой каждую функцию этого семейства переводит в функцию того же семейства. <br/> <p> 4. Для любой пары функций ${}_1$ и ${}_2$ семейства $$|A\left({}_2\right)-A\left({}_1\right)|?m\sup |{}_2-{}_1|,$$ где $0?m<1,$ $\sup |{}_2-{}_1|$ — верхняя грань значений $|{}_2-{}_1|$ на множестве $R.$ Тогда уравнение $$=A\left(\right)$$ имеет одно и только одно решение среди функций рассматриваемого семейства. <br/> принципе неподвижной точки см., например, <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325021">Краткий курс функционального анализа.(c. 190-195)</a> (теорема Шаудера), с. 263—267 (теоремы Боля—Брауэра, Биркгофа—Тарского), а также <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325030">Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Изд. 6-е, исправл.(c. 233-238)</a> (теорема Боля—Брауэра и ее приложения). <br/> <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325036">Дифференциальные уравнения. Изд. 4-е, стереотип.(c. 35-43)</a> , используются понятия: <br/> « $?$ -приближенное по невязке решение начальной задачи», <br/> « $?$ -приближенное по отклонению решение задачи Коши», <br/> см. также <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325018">Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. Пер. с англ. Б.М.Левитана.</a> <br/> <p> $3^{?}.$ Неединственность решения Коши задачи <br/> Неединственность выражается различно: особое множество может быть точкой, некоторой линией, областью и др. <br/> Вот характерные примеры, в которых особое множество является интегральной кривой. <br/> Из книги <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325034">Курс дифференциальных уравнений. Изд. 8-е, стереотип.(c. 122-122)</a> : $y^{\text{'}}=y^{2/3}.$ <br/> Имеем: $y={\left(x+c\right)}^3/27$ и $y=0.$ Через каждую точку оси $OX$ проходит кубическая парабола и в каждой точке нарушена единственность. <br/> <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325044">Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.(c. 60-61)</a> : $dy/dx=\sqrt[3]{{\left(y-x\right)}^2}+1.$ $y=$ $=x+{\left(x-c\right)}^3/27,$ $y=x.$ В каждой точке прямой $y=x$ единственность нарушена. <br/> В 1925 г . М . А . Лаврентьев построил первый пример ОДУ вида (1), для которого особое множество является областью: функция $f\left(x,y\right)$ непрерывна, но в любой <br/> <br/> окрестности каждой точки некоторой области $G$ через эту точку проходит более, чем одна интегральная кривая (см. <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325091">Элементы численного анализа и математической обработки результатов опыта. Изд. 2-е, перераб. (с.197-209)</a> ). <br/> В 1963 г . Ф . Хартман опубликовал пример ОДУ вида (1): <br/> «... существует (скалярная) функция $U\left(t,u\right),$ непрерывная на $\left(t,u\right)$ -плоскости и такая, что для каждой начальной точки $\left(t_0,u_0\right)$ задача Коши $$u^{\text{'}}=U\left(t,u\right),u\left(t_0\right)=u_0$$ имеет более одного решения на каждом отрезке $\left[t_0,t_0+?\right]$ и $\left[t_0-?,t_0\right]$ при любом $?>0$ ». <br/> (Наряду с книгой <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325041">Обыкновенные дифференциальные уравнения. Пер. с англ. И.Х.Сабитова и Ю.В.Егорова / Под ред. В.М.Алексеева.(c. 31-36)</a> , см. также Amer . Math . Monthly , 70 (1963), p. 255—259.) <br/> по тематике данной статьи для ОДУ (2) см. в статье ЛСУ «ОДУ первого порядка, не разрешенное относительно производной» |DE0004|. <br/> О дальнейшем см. цитированную литературу. <br/>