Многошаговый метод решения ОДУ

<b> Замечание </b> . $$ По поводу списка литературы. Литература по численным методам решения ОДУ весьма разнообразна и обширна. Такое разнообразие в определенной мере отражено в списке литературы, помещенном в разделе «Литература» настоящего издания тезауруса и подобранном также с учетом доступности. Данное замеча- ние— общего характера и относится, по-видимому, ко многим статьям ЛСУ тезауруса.

$1^{?}.$ <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325070">Численные методы. Т.1. Анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения. Изд. 2-е, стереотип.(c. 466-471)</a> , 493—502, 512—519, <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325091">Элементы численного анализа и математической обработки результатов опыта. Изд. 2-е, перераб. (с.333-342)</a> , <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325073">Численные методы анализа. Приближение функций. Дифференциальные уравнения / Под ред. Б.П.Демидовича.(c. 168-176)</a> , Н. Н.Калиткин, c. 250—252, <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325075">Численные методы решения дифференциальных уравнения. Пер. с нем. В.С.Рябенького и Л.А.Чудова.(c. 47-54)</a> , 431, <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325076">Вычислительная математика в примерах и задачах.(c. 215-223)</a> , <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325078">Вычислительные методы. Т.II.(c. 74-85)</a> , <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325081">Численное решение дифференциальных уравнений. Пер. с англ. / Под ред. М.Р.Шура-Бура.(c. 59-65)</a> , <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325091">Элементы численного анализа и математической обработки результатов опыта. Изд. 2-е, перераб. (с.41-50)</a> , <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325082">Лекции по методам вычислений.(c. 270-293)</a> , 327—340, <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325085">Численные методы математического анализа. Пер. с англ. Е.В.Гохман и В.И.Контовта / Под ред. и с дополн. Д.Ю.Панова.(c. 266-272)</a> , Т.Шуп, c. 85—92, <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325086">Численные методы для научных работников и инженеров. Пер. с англ. В.Л.Арлазарова, Г.С.Разиной и А.В.Ускова / Под ред. Р.С.Гутера.(c. 212-220)</a> , <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325091">Элементы численного анализа и математической обработки результатов опыта. Изд. 2-е, перераб. (с.141-146)</a> , <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325071">Современные численные методы в задачах небесной механики.(c. 138-140)</a> . <br/> Пусть $$y^{\text{'}}=f\left(x,y\right),y\left(x_0\right)=y_0\left(1\right)$$ Адамса метод решения ОДУ : <br/> экстраполяционная формула Адамса $$y_{k+1}=y_k+\frac{h}{24}\left(55{y_k}^{\text{'}}-59{y_{k-1}}^{\text{'}}+37{y_{k-2}}^{\text{'}}-9{y_{k-3}}^{\text{'}}\right),$$ интерполяционная формула Адамса $$y_{k+1}=y_k+\frac{h}{24}\left(9{y_{k+1}}^{\text{'}}+19{y_k}^{\text{'}}-5{y_{k-1}}^{\text{'}}+{y_{k-2}}^{\text{'}}\right),$$ $k=3,4,\dots$ «Начальный отрезок»: $y\left(x_0\right)=y_0;$ $y_1=y\left(x_1\right),$ $x_1=x_0+h;$ $y_2=y\left(x_2\right),$ $x_2=x_0+2h;$ $y_3=y\left(x_3\right),$ $x_3=x_0+3h$ $(y_0$ — дано, см. (1)). Метод решения четвертого порядка точности. <br/> <p> $2^{?}.$ <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325070">Численные методы. Т.1. Анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения. Изд. 2-е, стереотип.(c. 466-471)</a> , 493—502, 512—519, <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325072">Численные методы. Пер. с англ. Т.М.Тер-Микаэляна / Под ред. В.М.Курочкина.(c. 85-94)</a> , <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325073">Численные методы анализа. Приближение функций. Дифференциальные уравнения / Под ред. Б.П.Демидовича.(c. 182-197)</a> , <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325076">Вычислительная математика в примерах и задачах.</a> <br/> <br/> <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325091">Элементы численного анализа и математической обработки результатов опыта. Изд. 2-е, перераб. (с.85-88)</a> , <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325086">Численные методы для научных работников и инженеров. Пер. с англ. В.Л.Арлазарова, Г.С.Разиной и А.В.Ускова / Под ред. Р.С.Гутера.(c. 197-220)</a> , <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325091">Элементы численного анализа и математической обработки результатов опыта. Изд. 2-е, перераб. (с.141-146)</a> , <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325071">Современные численные методы в задачах небесной механики.</a> <br/> <br/> а) $$ Формула предсказания — первая формула Милна $$y_i^{\text{x}}=y_{i-4}+\frac{4}{3}h\left(2{y_{i-3}}^{\text{'}}-{y_{i-2}}^{\text{'}}+2{y_{i-1}}^{\text{'}}\right),{y_i}^{\text{'}}=f\left(x_i,y_i^{\text{x}}\right),$$ <br/> б) $$ формула коррекции — вторая формула Милна $$y_i^{\text{x}}=y_{i-2}+\frac{h}{3}\left({y_{i-2}}^{\text{'}}+4{y_{i-1}}^{\text{'}}+{y_i}^{\text{'}}\right),i=4,5,\dots$$ ${?}_i=\frac{1}{29}|y_i^{\text{x}}-y_i^{\text{x}}|$ — контрольная формула Милна, позволяющая на каждом шаге контролировать точность полученного результата. На каждом шаге остаточные члены формул а) и б) имеют порядок $O\left(h^5\right),$ а на всем отрезке $\left[x_0,x_n\right]$ — $O\left(h^4\right).$ <br/> «Начальный отрезок»: $y_0,$ $y\left(x_i\right)=y_i,$ $x_i=x_0+ih,$ $i=1,2,3;$ $h$ — шаг; (см. (1)). <br/> <p> $3^{?}.$ Н. С. c. В. Э. c. Т. c. Р. В. c. А. В. А. С.Якимова, А. В.Босов, c. 339—351. <br/> См. также статью С . С . Гайсаряна «Дифференциальное уравнение; приближенные методы решения» в Математической Энциклопедии, Т. 2, Д-Коо, 1979, с. 290—294. <br/> <br/> 1) $$ Формула прогноза $$y_{n+1}=y_{n-3}+\frac{4}{3}h\left(2{y_n}^{\text{'}}-{y_{n-1}}^{\text{'}}+2{y_{n-2}}^{\text{'}}\right)+\frac{28}{90}{h}^5?y^{\left(5\right)}.$$ <br/> 2) $$ Формула коррекции $$y_{n+1}=\frac{1}{8}\left[9y_n-y_{n-2}+3h\left({y_{n+1}}^{\text{'}}+2{y_n}^{\text{'}}-{y_{n-1}}^{\text{'}}\right)\right]-\frac{1}{40}{h}^5{y}^{\left(5\right)}.$$ Отмечается (см. <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325091">Элементы численного анализа и математической обработки результатов опыта. Изд. 2-е, перераб. (с.89-89)</a> ), что метод 1)—2) устойчив и является одним из наиболее используемых методов прогноза и коррекции четвертого порядка точности. <br/> Метод , « » (cм. <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325086">Численные методы для научных работников и инженеров. Пер. с англ. В.Л.Арлазарова, Г.С.Разиной и А.В.Ускова / Под ред. Р.С.Гутера.(c. 215-216)</a> ) <br/> Ниже используются обозначения из статьи С. С.Гайсаряна. $$1^{?}{y}_{p+1}^{?}=\frac{2y_{p-1}+y_{p-2}}{3}+$$ $$2^{?}{y}_{p+1}=y_{p+1}^{?}-\frac{707}{750}\left(y_p^{?}-y_p^{??}\right),$$ $$3^{?}{y}_{p+1}^{??}=\frac{2y_{p-1}+y_{p-2}}{3}+$$ $$4^{?}{y}_{p+1}=y_{p+1}^{??}+\frac{43}{750}\left(y_{p+1}^{?}-y_{p+1}^{??}\right),$$ где $y_{p+1}$ — приближенное решение. Погрешность на шаге порядка $h^{6.}$ <br/> О других методах см. цитированную литературу. <br/>