Метод малого параметра

$1^{?}.$ Рассматривается ОДУ вида $$y^{\text{'}}=f\left(x,y;?\right),\left(1\right)$$ где $?$ — параметр, и правая часть уравнения (1) зависит от параметра $?.$ <br/> Предполагают, что известно некоторое частное решение уравнения (1) $y_0\left(x\right),$ соответствующее значению $?={?}_{0.}$ <br/> Далее, решение уравнения (1) ищут в виде ряда $$y\left(x\right)=\underset{n=0}{\overset{}{?}}{\left(?-{?}_0\right)}^n?y_n\left(x\right).\left(2\right)$$ Ряд (2) подставляют в уравнение (1) и при этом функцию $f\left(x,y;?\right)$ (см. (1)) разлагают по формуле Тейлора по степеням $\left(?-{?}_0\right).$ В итоге для определения функций $y_n\left(x\right)$ (см. (2)) получают линейные уравнения вида: $${y_n}^{\text{'}}\left(x\right)={?}_n\left(x\right)?y_n\left(x\right)+v_n\left(x\right),n=1,2,3,\dots ,$$ где функции ${?}_n\left(x\right)$ выражаются через производные $f\left(x,y;?\right)$ при $y=y_0\left(x\right),$ $?={?}_0,$ а $v_n\left(x\right)$ — соответственно через $y_k\left(x\right),$ $0?k<n.$ <br/> Изложенное имеет смысл, если ряд (2) сходится, что имеет место, если правая часть, $f\left(x,y;?\right),$ (см. (1)) является аналитической функцией своих аргументов в рассматриваемой области. <br/> Метод малого параметра используется и для ОДУ высокого порядка и систем уравнений. <br/> <p> $2^{?}.$ Об асимптотике решений ОДУ по малому параметру ( <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325036">Дифференциальные уравнения. Изд. 4-е, стереотип.(c. 58-66)</a> , 193—199). <br/> <b> Теорема </b> . $$ Пусть в некоторой области $D$ переменных $y,t,?$ функция $f\left(y,t,?\right)$ обладает непрерывными и равномерно ограниченными частными производными по $y$ и $?$ до порядка $n+1$ включительно. Тогда существует сегмент $\left[0,T\right],$ на котором для решения $y\left(t,?\right)$ задачи $$\frac{dy}{dt}=f\left(y,t,?\right),y\left(0,?\right)=y_0$$ $(?$ изменяется в некоторой окрестности значения $?=0$ в области $D)$ справедливо асимптотическое представление $$y\left(t,?\right)=\stackrel{?}{y}\left(t\right)+??\frac{y}{?}\left(t,0\right)+\dots +\frac{{?}^n}{n!}\frac{{}^{n}y}{{?}^n}\left(t,0\right)+{?}_{n+1}\left(t,?\right),\left(3\right)$$ где ${?}_{n+1}\left(t,?\right)?0$ при $?0,$ $0?t?T,$ причем ${?}_{n+1}\left(t,?\right)=O\left({?}^{n+1}\right);$ $\stackrel{?}{y}\left(t\right)$ — приближенное выражение для $y\left(t,?\right).$ Даны указания относительно определения производных в (3). <br/> О дальнейшем см. цитированную литературу, а также статью Н. Х.Розова и М. В.Федорюка в Математической Энциклопедии. Том 3. Коо-Од. 1982. с. 498—502. <br/>