Малого параметра метод

в т е о р и и дифференциальных уравнений - приемы построения приближенных решений дифференциальных уравнений и систем, зависящих от параметра. 1) М. п. м. для обыкновенных дифференциальных уравнении. Обыкновенные дифференциальные уравнения, к к-рым приводят прикладные задачи, обычно содержат один или несколько параметров. Параметр может входить также в начальные данные или граничные условия. Поскольку найти точное решение дифференциального уравнения можно лишь для отдельных весьма частных классов, возникла задача о построении приближенного решения. Одна из типичных постановок ее такова: уравнение и начальные (граничные) условия содержат параметр l и решение известно (или его можно считать известным) при l=l0;требуется построить приближенное решение при значениях параметра l, близких к l0, т. е. построить асимптотику решения при [img: http://localhost:8080/file/031403-102.jpg] где e=l-l0 - малый параметр. М. п. м., возникший в связи с задачей трех тел небесной механики, восходит к Ж. Д'Аламберу (J. D'Alembert) и интенсивно развивается с кон. 19 в. Ниже используются следующие обозначения: t- независимое переменное, e>0 - малый параметр, I - отрезок [img: http://localhost:8080/file/031403-103.jpg] знак - означает асимптотич. равенство. Все векторные и матричные функции, входящие в уравнения и в граничные условия, предполагаются гладкими (класса [img: http://localhost:8080/file/031403-104.jpg]) по совокупности переменных в рассматриваемой области (по e - при [img: http://localhost:8080/file/031403-105.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/031403-106.jpg]). 1. Задача Коши для системы n-го порядка: [img: http://localhost:8080/file/031403-107.jpg] Пусть решение [img: http://localhost:8080/file/031403-108.jpg] предельной задачи (т. е. задачи, получающейся из (1) при e=0) существует и единственно при [img: http://localhost:8080/file/031403-109.jpg] _ Тогда для решения x(t, е).задачи (1) справедливо асимптотич. разложение при [img: http://localhost:8080/file/031403-110.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031403-111.jpg] равномерное по [img: http://localhost:8080/file/031403-112.jpg] Этот факт вытекает из теоремы о гладкой зависимости от параметра решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Если вектор-функции f и х 0 голоморфны при [img: http://localhost:8080/file/031403-113.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031403-114.jpg] то ряд (2) сходится к решению x(t, е) при достаточно малых |e| равномерно по [img: http://localhost:8080/file/031403-115.jpg] (теорема Пуанкаре). Аналогичные результаты справедливы и для краевой задачи для системы вида (1), если решение соответствующей предельной задачи существует и единственно. Различают два вида зависимости уравнения (или системы) от малого параметра - регулярную и сингулярную. Система в нормальной форме регулярно зависит от параметра e, если все правые ее части - гладкие функции от e при малых [img: http://localhost:8080/file/031403-116.jpg] в противном случае система зависит от параметра 8 сингулярно. При регулярной зависимости системы от e решение задачи с параметром на конечном отрезке по t, как правило, равномерно стремится при [img: http://localhost:8080/file/031403-117.jpg] к решению предельной задачи. 2. В линейной теории рассматриваются сингулярно зависящие от параметра е системы n-го порядка [img: http://localhost:8080/file/031403-118.jpg] где элементы [img: http://localhost:8080/file/031403-119.jpg] -матрицы Аи компоненты вектора f- комплекснозначные функции. Центральная задача линейной теории - построение такой фундаментальной системы решений (ф. с. р.) однородной системы (т. е. при [img: http://localhost:8080/file/031403-120.jpg]), для к-рой асимптотика при [img: http://localhost:8080/file/031403-121.jpg] известна на всем отрезке I. Основным результатом линейной теории является следующая теорема Биркгофа. Пусть: 1) собственные значения [img: http://localhost:8080/file/031403-122.jpg] матрицы A(t,0) различны при [img: http://localhost:8080/file/031403-123.jpg] 2) величины [img: http://localhost:8080/file/031403-124.jpg] не меняют знак. Тогда существует ф. с. p. x1(t,e),..., xn(t,e) однородной системы [img: http://localhost:8080/file/031403-125.jpg] для к-рой справедливо асимптотич. разложение при [img: http://localhost:8080/file/031403-126.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031403-127.jpg] Это разложение равномерно по [img: http://localhost:8080/file/031403-128.jpg] и его можно дифференцировать по tи по е любое число раз. Если матрица Ане зависит от е, т. е. А=А(t), то [img: http://localhost:8080/file/031403-129.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031403-130.jpg] - левые и правые собственные векторы матрицы A(t), нормированные условием [img: http://localhost:8080/file/031403-131.jpg] Решения, имеющие асимптотику вида (3), наз. также ВКБ-решениями (см. ВКБ-метод). Качественная структура этих решений такова. Если [img: http://localhost:8080/file/031403-132.jpg] то xj есть вектор-функция типа пограничного слоя при t0=0 (t0=Т), т. е. заметно отлична от нуля только в е-окрестности точки t=0 (t= Т). Если же [img: http://localhost:8080/file/031403-133.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031403-134.jpg] то решение xj сильно осциллирует при [img: http://localhost:8080/file/031403-135.jpg] и имеет порядок O(1) на всем отрезке I. Если матрица-функция A(t, e) голоморфна при [img: http://localhost:8080/file/031403-136.jpg] и условие 1) выполнено, то формула (3) справедлива при [img: http://localhost:8080/file/031403-137.jpg] где t1>0 достаточно мало. Трудной проблемой является построение асимптотики ф. с. р. при наличии на Iточек поворота, т. е. точек, в к-рых матрица A(t,0) имеет кратное собственное значение. Эта проблема полностью решена только для отдельных типов точек поворота (см. [1]). В окрестности точки поворота имеется переходная область, в к-рой решение устроено довольно сложно и в простейшем случае выражается через Эйри функции. Аналогичные результаты (см. [1]) справедливы для скалярных уравнений вида [img: http://localhost:8080/file/031403-138.jpg] где а j - комплекснозначные функции; роль функций [img: http://localhost:8080/file/031403-139.jpg] играют корни характерйстич. уравнения [img: http://localhost:8080/file/031403-140.jpg] ВКБ-решения возникают также и в нелинейных системах вида [img: http://localhost:8080/file/031403-141.jpg] ВКБ-асимптотика (3), в условиях теоремы Биркгофа, справедлива на бесконечном интервале [img: http://localhost:8080/file/031403-142.jpg] (т. е. разложение (3) - асимптотическое и при [img: http://localhost:8080/file/031403-143.jpg] и при [img: http://localhost:8080/file/031403-144.jpg]), если матрица A(t, е) достаточно правильно ведет себя при [img: http://localhost:8080/file/031403-145.jpg] напр. быстро стремится к постоянной матрице с различными собственными значениями (см. [2]). К сингулярным задачам с малым параметром приводят многие вопросы спектрального анализа (см. [3]) и математич. физики. 3. Особый интерес представляет исследование нелинейных систем вида [img: http://localhost:8080/file/031403-146.jpg] где e>0 - малый параметр. Первое уравнение описывает быстрые движения, второе - медленные движения. Напр., Ван дер Поля уравнение с помощью замены [img: http://localhost:8080/file/031403-147.jpg] приводится при больших значениях параметра l, к системе [img: http://localhost:8080/file/031403-148.jpg] имеющей вид (4). При e=0 уравнение быстрых движений вырождается в уравнение f(x, у)=0. Пусть это уравнение имеет в нек-рой ограниченной замкнутой области Dизменения уизолированный устойчивый непрерывный корень x=j(y) (т. е. действительные части всех собственных значений матрицы Якоби [img: http://localhost:8080/file/031403-149.jpg] отрицательны при x=j(y), [img: http://localhost:8080/file/031403-150.jpg]); пусть решения задачи (4) и вырожденной задачи [img: http://localhost:8080/file/031403-151.jpg] существуют и единственны при [img: http://localhost:8080/file/031403-152.jpg] причем получающаяся при решении задачи (5) функция [img: http://localhost:8080/file/031403-153.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/031403-154.jpg] Если точка (х 0, у 0).принадлежит области влияния корня x=j(y), то [img: http://localhost:8080/file/031403-155.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/031403-156.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031403-157.jpg] - решение вырожденной задачи (теорема Тихонова). Вблизи точки t=0 предельный переход [img: http://localhost:8080/file/031403-158.jpg] является неравномерным - возникает пограничный слой. Для задачи (4) построена асимптотика решения: [img: http://localhost:8080/file/031403-159.jpg] а асимптотика для y(t,e) имеет аналогичный вид. В (6) первая сумма - регулярная часть асимптотики, вторая - пограничный слой. Регулярная часть асимптотики вычисляется стандартным способом: ряды вида (2) подставляются в систему (4), правые части разлагаются в ряды по степеням е и затем приравниваются коэффициенты при одинаковых степенях е. Для вычисления погранслойной части асимптотики в окрестности точки t=0 вводится новая переменная t=t/e, (быстрое время) и применяется описанная выше процедура. Возникает нек-рый интервал на оси t, на к-ром пригодно и регулярное (или внешнее) разложение, и погранслойное (или внутреннее) разложение. Функции х k, П k определяются из условия совпадения этих разложений (т. н. метод сращивания, см. [4], [5]). Аналогичные результаты справедливы в случае, когда правые части системы (4) явно зависят от t, для скалярных уравнений вида [img: http://localhost:8080/file/031404-1.jpg] и для краевых задач для таких систем и уравнений (см. Дифференциальные уравнения с малым параметром при производных,[6], [7]). При приближении решения задачи (4) к т о ч к е срыва, где теряется устойчивость (напр., где одно из собственных значений матрицы df/дх при х=j(у).обращается в нуль), ряды вида (5) теряют асимптотич. характер. В окрестности точки срыва асимптотика имеет совершенно иной характер (см. [8]). Исследование окрестностей точки срыва особенно существенно для построения асимптотич. теории релаксационных колебаний. 4. Задачи небесной механики и теории нелинейных колебаний приводят, в частности, к необходимости исследовать поведение решения задачи (1) не на конечном интервале, а на большом, порядка e-1 или более высокого, интервале по t. Для исследования этих задач широко применяется метод усреднения (см. Крылова - Боголюбова метод усреднения, Малые знаменатели,[9] - [11]). 5. Асимптотика решений уравнений вида (7) исследуется, в частности, с помощью т. [img: http://localhost:8080/file/031404-2.jpg] к-рое имеет периодич. решения (см. [12]). Решение ищется в виде [img: http://localhost:8080/file/031404-3.jpg] (функции Т, t наз. масштабами). Если уравнение (8) - линейное, то [img: http://localhost:8080/file/031404-4.jpg] и (9) есть ВКБ-решение. В нелинейном случае уравнения первых двух приближений имеют вид [img: http://localhost:8080/file/031404-5.jpg] причем первое уравнение содержит две неизвестные функции Sи j0. Пусть это уравнение имеет периодическое по tрешение j0=j0(t, Т). Тогда недостающее уравнение, из к-рого определяется S, находится из условия периодичности по tрешения j1 и имеет вид [img: http://localhost:8080/file/031404-6.jpg] где интеграл берется по периоду решения j.