Чаплыгина метод решения ОДУ

Пусть $$\frac{dy}{dx}=f\left(x,y\right),y\left(x_0\right)=y_{0.}\left(1\right)$$ Сущность метода . Искомое решение $$y=y\left(x\right)\left(x_0?x?X\right)$$ аппрокисмируется двумя последовательностями функций $$u_n=u_n\left(x\right),U_n=U_n\left(x\right)\left(n=1,2,\dots \right),$$ удовлетворяющими двойному неравенству <br/> <br/> $$u_n\left(x\right)?y\left(x\right)?U_n\left(x\right)\text{xxx}x?\left[x_0,X\right]$$ и начальному условию $$u_n\left(x_0\right)=U_n\left(x_0\right)=y\left(x_0\right).$$ При этом $$U_n\left(x\right)-u_n\left(x\right)0\text{xx}\left[x_0,X\right], n.$$ <br/> ( <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325091">Элементы численного анализа и математической обработки результатов опыта. Изд. 2-е, перераб. (с.267-283)</a> . $)$ <br/> Пусть функции $f\left(x,y\right)$ и $F\left(x,y\right)$ непрерывны в области $R$ : $$R=\left\{x_0?x?x_0+a;|y-y_0|?b\right\}(a>0,b>0)$$ и удовлетворяют условию $$f\left(x,y\right)?F\left(x,y\right).$$ Пусть, далее, $y=y\left(x\right)$ и $y=U\left(x\right)$ — решения дифференциальных уравнений $$y^{\text{'}}=f\left(x,y\right),U^{\text{'}}=F\left(x,U\right),$$ проходящие через точку $\left(x_0,y_0\right),$ определенные при $x_0?x?x_0+a$ и лежащие между $y_0-b$ и $y_0+b.$ <br/> Тогда если $f\left(x,y\right)$ удовлетворяет в области $R$ условию Липшица, то при $x_0?x?$ $?x_0+a$ имеет место неравенство $$U\left(x\right)?y\left(x\right).$$ Более того, если в некоторой точке $x_1>x_0$ имеет место неравенство $$U\left(x_1\right)>y\left(x_1\right),$$ то $$U\left(x\right)>y\left(x\right)\text{xxx xxxx}x?\left[x_1,x_0+a\right].$$ <br/> О способах построения нижних приближений и верхних приближений решения в методе Чаплыгина см. цитированную литературу. <br/> Приведем еще формулировку <b> теоремы Чаплыгина </b> . <br/> Рассматривается Коши задача (1). <br/> Если кривые $y=u\left(x\right)$ и $y=v\left(x\right)$ обе проходят через точку $M_0\left(x_0,y_0\right),$ и если верны дифференциальные неравенства $$u^{\text{'}}\left(x\right)-f\left(x,u\left(x\right)\right)<0,v^{\text{'}}\left(x\right)-f\left(x,v\left(x\right)\right)>0,x>x_0,$$ то при $x>x_0$ справедливы неравенства $$u\left(x\right)<y\left(x\right)<v\left(x\right),$$ где $y=y\left(x\right)$ — решение Коши задачи $y{|}_{x=x_0}=y_{0.}$ Правая часть уравнения $y^{\text{'}}=f\left(x,y\right)$ непрерывна и удовлетворяет условию Липшица по $y$ в рассматриваемой области. (См. <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325091">Элементы численного анализа и математической обработки результатов опыта. Изд. 2-е, перераб. (с.22-26)</a> .) <br/>