РИМАНА ТЕНЗОР, ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ РИМАНА, АФФИННОЙ СВЯЗНОСТИ $\Gamma_{j k}^{i}$

тензорное поле, определяемое равенством \[ -R_{j, k l}^{i}=\frac{\partial}{\partial x^{k}} \Gamma_{j l}^{i}-\frac{\partial}{\partial x^{l}} \Gamma_{j k}^{i}+\Gamma_{m k}^{i} \Gamma_{j l}^{m}-\Gamma_{m l}^{i} \Gamma_{j k}^{m} \] Иногда используется и другое соглашение о знаке для $R_{j, k l}^{i}$. Р. т. часто определяют исходя из равенства \[ \left(\nabla_{k} \nabla_{l}-\nabla_{l} \nabla_{k}\right) T^{i}=-R_{j, k l}^{i} T^{j} \] В этом случае для тензорного поля произвольного строения $Z_{j_{1} \ldots j_{q}}^{i_{1} \ldots i_{p}}$ имеет место формула \[ \begin{gathered} \left(\nabla_{k} \nabla_{l}-\nabla_{l} \nabla_{k}\right) Z_{j_{1} \ldots j_{q}}^{i_{1} \ldots i_{p}}=-R_{s, k l}^{i_{1}} Z_{j_{1} \ldots j_{q}}^{s i_{2} \ldots i_{p}}-\ldots \\ \ldots-R_{s, k l}^{i_{p}} Z_{j_{1} \ldots j_{q}}^{i_{1} \ldots i_{p-1}^{s}}+R_{j_{1}, k l}^{s} Z_{s j_{2} \ldots j_{q}}^{i_{1} \ldots i_{p}}+\ldots+R_{j_{q}, k l}^{s} Z_{j_{1} \ldots j_{q-1} s}^{i_{1} \ldots i_{p}} \end{gathered} \] Пусть $[R(\xi, \eta) \zeta]^{i}=R_{j, k l}^{i} \xi^{k} \eta^{l} \zeta$. Тогда Р. т. допускает инвариантное определение: \[ R(\xi, \eta) \zeta=\nabla_{\eta} \nabla_{\xi} \zeta-\nabla_{\xi} \nabla_{\eta} \zeta+\nabla_{[\xi, \eta]} \zeta \] Р. т. риманова многообразия $\left(M, g_{i j}\right)$ есть тензор кривизны Леви-Чивита связности для метрики. В. В. Трофимов.

тензорное поле, определяемое равенством \[ -R_{j, k l}^{i}=\frac{\partial}{\partial x^{k}} \Gamma_{j l}^{i}-\frac{\partial}{\partial x^{l}} \Gamma_{j k}^{i}+\Gamma_{m k}^{i} \Gamma_{j l}^{m}-\Gamma_{m l}^{i} \Gamma_{j k}^{m} \] Иногда используется и другое соглашение о знаке для $R_{j, k l}^{i}$. Р. т. часто определяют исходя из равенства \[ \left(\nabla_{k} \nabla_{l}-\nabla_{l} \nabla_{k}\right) T^{i}=-R_{j, k l}^{i} T^{j} \] В этом случае для тензорного поля произвольного строения $Z_{j_{1} \ldots j_{q}}^{i_{1} \ldots i_{p}}$ имеет место формула \[ \begin{gathered} \left(\nabla_{k} \nabla_{l}-\nabla_{l} \nabla_{k}\right) Z_{j_{1} \ldots j_{q}}^{i_{1} \ldots i_{p}}=-R_{s, k l}^{i_{1}} Z_{j_{1} \ldots j_{q}}^{s i_{2} \ldots i_{p}}-\ldots \\ \ldots-R_{s, k l}^{i_{p}} Z_{j_{1} \ldots j_{q}}^{i_{1} \ldots i_{p-1}^{s}}+R_{j_{1}, k l}^{s} Z_{s j_{2} \ldots j_{q}}^{i_{1} \ldots i_{p}}+\ldots+R_{j_{q}, k l}^{s} Z_{j_{1} \ldots j_{q-1} s}^{i_{1} \ldots i_{p}} \end{gathered} \] Пусть $[R(\xi, \eta) \zeta]^{i}=R_{j, k l}^{i} \xi^{k} \eta^{l} \zeta$. Тогда Р. т. допускает инвариантное определение: \[ R(\xi, \eta) \zeta=\nabla_{\eta} \nabla_{\xi} \zeta-\nabla_{\xi} \nabla_{\eta} \zeta+\nabla_{[\xi, \eta]} \zeta \] Р. т. риманова многообразия $\left(M, g_{i j}\right)$ есть тензор кривизны Леви-Чивита связности для метрики. В. В. Трофимов.