ГАУССОВО СЛУЧАЙНОЕ ПОЛЕ

случайная функция $\left\{\xi_{t}, t \in T\right\}$, определенная на $v$-мерной решетке $T=\mathbb{Z}^{V}$ или в $v$-мерном пространстве $T=\mathbb{R}^{v}$, принимающая вещественные значения и такая, что все ее конечномерные распределения гауссовы. Подробнее: 1) $T=\mathbb{Z}^{\vee}$. В этом случае Г. с. п. $\left\{\xi_{t}, t \in \mathbb{Z}^{\vee}\right\}$ задается средним $\left\langle\xi_{t}\right\rangle=a_{t}$ и матрицей ковариаций $\left\langle\xi_{t_{1}}, \xi_{t_{2}}\right\rangle-\left\langle\xi_{t_{1}}\right\rangle\left\langle\xi_{t_{2}}\right\rangle=b_{t_{1} t_{2}}$, где $\langle\cdot, \cdot\rangle$ означает среднее по распределению поля. При этом для любого конечного подмножества $\Lambda=\left\{t_{1}, \ldots, t_{n}\right\} \subset \mathbb{Z}^{V}$ плотность совместного распределения случайных величин $\left\{\xi_{t_{i}}=\xi_{i}, i=1, \ldots, n\right\}$ имеет вид: $p\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=\frac{\left(\operatorname{det} A_{\Lambda}\right)^{1 / 2}}{(2 \pi)^{n / 2}} \exp \left\{-\frac{1}{2} \sum_{i, j} a_{i j}^{(\Lambda)}\left(x_{i}-a_{i}\right)\left(x_{j}-a_{j}\right)\right\}$ где \[ \begin{gathered} A_{\Lambda}=\left\{a_{i j}^{(\Lambda)}\right\}=\left(B_{\Lambda}\right)^{-1}, \\ B_{\Lambda}=\left\{b_{i j}\right\}, i, j=1, \ldots, n, \\ b_{i j}=b_{t_{i} t_{j}}, a_{i}=a_{t_{j}} \end{gathered} \] 2) $T=\mathbb{R}^{V}$. В этом случае Г. с. п. определяется аналогичным образом с помощью своего среднего $\left\{a_{t}, t \in \mathbb{R}^{v}\right\}$ и ковариационного ядра $\left\{b_{t_{1}} t_{2}, t_{1}, t_{2} \in \mathbb{R}^{v}\right\}$. В случае непрерывного пространства часто возникает (особенно в применениях к квантовой теории поля) более общий класс Г. с. п. - так наз. обобщенные гауссовы поля. Они определяются как гауссовы случайные функции, то есть наборы случайных величин $\left\{\xi_{\varphi}, \varphi \in D\right\}$, помеченных элементами нек-рого пространства $D$ «основных» функций на $\mathbb{R}^{v}$ (чаще всего бесконечно гладких и быстро убывающих на бесконечности функций на $\mathbb{R}^{v}$ ), так что для любого конечного линейно независимого набора таких функций $\left\{\varphi_{1}, \ldots, \varphi_{n}\right\}$ совместная плотность величин $\left\{\xi_{i}=\xi_{\varphi_{i}}, \quad i=1, \ldots, n\right\}$ имеет вид (1). Типичными реализациями обобщенных полей являются уже не обычные, а обобщенные функции на $\mathbb{R}^{v}$. Наиболее известные гауссовы обобщенные случайные поля с равными нулю средними и корреляционными матрицами $\left\|b_{i j}\right\|$ : белый шум \[ b_{\varphi_{1} \varphi_{2}}=\int_{\mathbb{R}^{v}} \varphi_{1}(x) \varphi_{2}(x) d x \] и нельсоновское поле \[ b_{\varphi_{1} \varphi_{2}}=\int_{\mathbb{R}^{v}} \int_{\mathbb{R}^{v}} \varphi_{1}\left(x_{1}\right)\left(-\Delta+m^{2}\right)\left(x_{1}, x_{2}\right) \varphi_{2}\left(x_{2}\right) d x_{1} d x_{2} ; \] здесь $\left(-\Delta+m^{2}\right)\left(x_{1}, x_{2}\right)-$ функция Грина (фундаментальное решение) дифференциального оператора $-\Delta+m^{2}, m>0$.

случайная функция $\left\{\xi_{t}, t \in T\right\}$, определенная на $v$-мерной решетке $T=\mathbb{Z}^{V}$ или в $v$-мерном пространстве $T=\mathbb{R}^{v}$, принимающая вещественные значения и такая, что все ее конечномерные распределения гауссовы. Подробнее: 1) $T=\mathbb{Z}^{\vee}$. В этом случае Г. с. п. $\left\{\xi_{t}, t \in \mathbb{Z}^{\vee}\right\}$ задается средним $\left\langle\xi_{t}\right\rangle=a_{t}$ и матрицей ковариаций $\left\langle\xi_{t_{1}}, \xi_{t_{2}}\right\rangle-\left\langle\xi_{t_{1}}\right\rangle\left\langle\xi_{t_{2}}\right\rangle=b_{t_{1} t_{2}}$, где $\langle\cdot, \cdot\rangle$ означает среднее по распределению поля. При этом для любого конечного подмножества $\Lambda=\left\{t_{1}, \ldots, t_{n}\right\} \subset \mathbb{Z}^{V}$ плотность совместного распределения случайных величин $\left\{\xi_{t_{i}}=\xi_{i}, i=1, \ldots, n\right\}$ имеет вид: $p\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=\frac{\left(\operatorname{det} A_{\Lambda}\right)^{1 / 2}}{(2 \pi)^{n / 2}} \exp \left\{-\frac{1}{2} \sum_{i, j} a_{i j}^{(\Lambda)}\left(x_{i}-a_{i}\right)\left(x_{j}-a_{j}\right)\right\}$ где \[ \begin{gathered} A_{\Lambda}=\left\{a_{i j}^{(\Lambda)}\right\}=\left(B_{\Lambda}\right)^{-1}, \\ B_{\Lambda}=\left\{b_{i j}\right\}, i, j=1, \ldots, n, \\ b_{i j}=b_{t_{i} t_{j}}, a_{i}=a_{t_{j}} \end{gathered} \] 2) $T=\mathbb{R}^{V}$. В этом случае Г. с. п. определяется аналогичным образом с помощью своего среднего $\left\{a_{t}, t \in \mathbb{R}^{v}\right\}$ и ковариационного ядра $\left\{b_{t_{1}} t_{2}, t_{1}, t_{2} \in \mathbb{R}^{v}\right\}$. В случае непрерывного пространства часто возникает (особенно в применениях к квантовой теории поля) более общий класс Г. с. п. - так наз. обобщенные гауссовы поля. Они определяются как гауссовы случайные функции, то есть наборы случайных величин $\left\{\xi_{\varphi}, \varphi \in D\right\}$, помеченных элементами нек-рого пространства $D$ «основных» функций на $\mathbb{R}^{v}$ (чаще всего бесконечно гладких и быстро убывающих на бесконечности функций на $\mathbb{R}^{v}$ ), так что для любого конечного линейно независимого набора таких функций $\left\{\varphi_{1}, \ldots, \varphi_{n}\right\}$ совместная плотность величин $\left\{\xi_{i}=\xi_{\varphi_{i}}, \quad i=1, \ldots, n\right\}$ имеет вид (1). Типичными реализациями обобщенных полей являются уже не обычные, а обобщенные функции на $\mathbb{R}^{v}$. Наиболее известные гауссовы обобщенные случайные поля с равными нулю средними и корреляционными матрицами $\left\|b_{i j}\right\|$ : белый шум \[ b_{\varphi_{1} \varphi_{2}}=\int_{\mathbb{R}^{v}} \varphi_{1}(x) \varphi_{2}(x) d x \] и нельсоновское поле \[ b_{\varphi_{1} \varphi_{2}}=\int_{\mathbb{R}^{v}} \int_{\mathbb{R}^{v}} \varphi_{1}\left(x_{1}\right)\left(-\Delta+m^{2}\right)\left(x_{1}, x_{2}\right) \varphi_{2}\left(x_{2}\right) d x_{1} d x_{2} ; \] здесь $\left(-\Delta+m^{2}\right)\left(x_{1}, x_{2}\right)-$ функция Грина (фундаментальное решение) дифференциального оператора $-\Delta+m^{2}, m>0$.