ГОРЯЧЕВА-ЧАПЛЫГИНА РЕШЕНИЕ

решение уравнений движения твердого тела вокруг неподвижной точки (см. [1], [2]). Г.-Ч. р. отвечает случаю, когда между главными моментами инерции существует соотношение $I_{1}=I_{2}=4 I_{3}$, проекция главного момента количества движения на вертикаль равна нулю и центр тяжести лежит в экваториальной плоскости эллипсоида инерции. Уравнения Эйлера-Пуассона для Г.-Ч. р. помимо интегралов \[ \begin{gathered} F_{1}=4\left(\omega_{1}^{2}+\omega_{2}^{2}\right)+\omega_{3}^{2}-2 a \gamma_{1}=k, \\ F_{2}=4\left(\omega_{1} \gamma_{1}+\omega_{2} \gamma_{2}\right)+\omega_{3} \gamma_{3}=0, \\ F_{3}=\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}+\gamma_{3}^{2}=1 \end{gathered} \] допускают интеграл \[ F_{4}=\omega_{3}\left(\omega_{1}^{2}+\omega_{2}^{2}\right)+a \omega_{1} \gamma_{3}=g \] где $a=P \alpha / I_{3}, P-$ вес тела, $I_{3}-$ момент инерции относительно оси симметрии тела, $\alpha-$ расстояние от неподвижной точки до лежащего на подвижной оси $O x_{1}$ центра тяжести тела, $k$ и $g$ - произвольные постоянные. На совместном уровне интегралов заменой переменных $2 a \gamma_{1}=u^{2}-u v+v^{2}-k, 2 a \gamma_{2}=\frac{U_{1} U_{2}-V_{1} V_{2}}{u+v}, 2 a \gamma_{3}=\frac{U_{1} V_{2}+V_{1} U_{2}}{u+v}$, $8 a p=U_{1} V_{2}-V_{1} U_{2}, \quad 8 a q=U_{1} V_{1}+U_{2} V_{2}, \quad r=u-v$, $U_{1}^{2}=u^{3}-k u-4 g-2 a u, \quad V_{1}^{2}=v^{3}-k v-2 a v+4 g$, $U_{2}^{2}=-u^{3}+k u+4 g-2 a u, \quad V_{2}^{2}=-v^{3}+k v-2 a v-4 g$ уравнения движения приводятся к виду \[ \frac{d u}{U_{1} U_{2}}-\frac{d v}{V_{1} V_{2}}=0, \quad \frac{2 u d u}{U_{1} U_{2}}+\frac{2 v d v}{V_{1} V_{2}}=d t \] и задача решается в гиперэллиптич. функциях времени. Изучалось движение тела, приведенного в быстрое вращение относительно горизонтально расположенной главной оси инерции $O x_{1}$ (см. [3], [4]). При выполнении условий $k \neq 0, k \alpha^{2} \neq 4 g^{2}$ существуют средние и главные движения собственного вращения и линии узлов; исследована их зависимость от отношения частот (см. [5]). Выполнено интегрирование уравнений движений для Г.-Ч. р. с помощью представления Лакса (см. [6]).

решение уравнений движения твердого тела вокруг неподвижной точки (см. [1], [2]). Г.-Ч. р. отвечает случаю, когда между главными моментами инерции существует соотношение $I_{1}=I_{2}=4 I_{3}$, проекция главного момента количества движения на вертикаль равна нулю и центр тяжести лежит в экваториальной плоскости эллипсоида инерции. Уравнения Эйлера-Пуассона для Г.-Ч. р. помимо интегралов \[ \begin{gathered} F_{1}=4\left(\omega_{1}^{2}+\omega_{2}^{2}\right)+\omega_{3}^{2}-2 a \gamma_{1}=k, \\ F_{2}=4\left(\omega_{1} \gamma_{1}+\omega_{2} \gamma_{2}\right)+\omega_{3} \gamma_{3}=0, \\ F_{3}=\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}+\gamma_{3}^{2}=1 \end{gathered} \] допускают интеграл \[ F_{4}=\omega_{3}\left(\omega_{1}^{2}+\omega_{2}^{2}\right)+a \omega_{1} \gamma_{3}=g \] где $a=P \alpha / I_{3}, P-$ вес тела, $I_{3}-$ момент инерции относительно оси симметрии тела, $\alpha-$ расстояние от неподвижной точки до лежащего на подвижной оси $O x_{1}$ центра тяжести тела, $k$ и $g$ - произвольные постоянные. На совместном уровне интегралов заменой переменных $2 a \gamma_{1}=u^{2}-u v+v^{2}-k, 2 a \gamma_{2}=\frac{U_{1} U_{2}-V_{1} V_{2}}{u+v}, 2 a \gamma_{3}=\frac{U_{1} V_{2}+V_{1} U_{2}}{u+v}$, $8 a p=U_{1} V_{2}-V_{1} U_{2}, \quad 8 a q=U_{1} V_{1}+U_{2} V_{2}, \quad r=u-v$, $U_{1}^{2}=u^{3}-k u-4 g-2 a u, \quad V_{1}^{2}=v^{3}-k v-2 a v+4 g$, $U_{2}^{2}=-u^{3}+k u+4 g-2 a u, \quad V_{2}^{2}=-v^{3}+k v-2 a v-4 g$ уравнения движения приводятся к виду \[ \frac{d u}{U_{1} U_{2}}-\frac{d v}{V_{1} V_{2}}=0, \quad \frac{2 u d u}{U_{1} U_{2}}+\frac{2 v d v}{V_{1} V_{2}}=d t \] и задача решается в гиперэллиптич. функциях времени. Изучалось движение тела, приведенного в быстрое вращение относительно горизонтально расположенной главной оси инерции $O x_{1}$ (см. [3], [4]). При выполнении условий $k \neq 0, k \alpha^{2} \neq 4 g^{2}$ существуют средние и главные движения собственного вращения и линии узлов; исследована их зависимость от отношения частот (см. [5]). Выполнено интегрирование уравнений движений для Г.-Ч. р. с помощью представления Лакса (см. [6]).