Боголюбова теорема

1) Б. т. "острие клина"-обобщение принципа аналитического продолжения, особенно для случая многих комплексных переменных; получена Н. Н. Боголюбовым в 1956 при обосновании дисперсионных соотношений в квантовой теории поля (см. [1], Дополнение А). Современная формулировка: пусть функция [img: http://localhost:8080/file/010215-1.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010215-2.jpg], голоморфна в открытом множестве [img: http://localhost:8080/file/010215-3.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010215-4.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010215-5.jpg] - такой открытый конус в Rn с вершиной в нуле, что [img: http://localhost:8080/file/010215-6.jpg] открытое множество [img: http://localhost:8080/file/010215-7.jpg] содержится в шаре [img: http://localhost:8080/file/010215-8.jpg] и для любой основной функции [img: http://localhost:8080/file/010215-9.jpg] из [img: http://localhost:8080/file/010215-10.jpg] существует [img: http://localhost:8080/file/010215-11.jpg] не зависящий от способа стремления [img: http://localhost:8080/file/010215-12.jpg] тогда [img: http://localhost:8080/file/010215-13.jpg] допускает аналитич. родолжение в область [img: http://localhost:8080/file/010215-14.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010215-15.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010215-16.jpg] - комплексная окрестность множества [img: http://localhost:8080/file/010215-17.jpg], причем [img: http://localhost:8080/file/010215-18.jpg] - постоянная, зависящая только от конуса [img: http://localhost:8080/file/010215-19.jpg] - расстояние от точки [img: http://localhost:8080/file/010215-20.jpg] до границы множества [img: http://localhost:8080/file/010215-21.jpg]. Б. т. "острие клина" остается верной и при [img: http://localhost:8080/file/010215-22.jpg]. В этом случае и при нек-рых предположениях о росте функции [img: http://localhost:8080/file/010215-23.jpg] получается первоначальная формулировка Н. Н. Боголюбова (см. [1]; роль конуса играл световой конус в [img: http://localhost:8080/file/010215-24.jpg]). Существуют различные доказательства и обобщения этой теоремы (см. [2]). Особо следует отметить обобщения на гиперфункции (см. [4]) и голоморфные коциклы (см. [3]). Б. т. "острие клина" находит широкие применения в аксиоматич. квантовой теории поля, в теория дифференциальных уравнений с частными производными, в теории граничных значений голоморфных функций (особенно функций многих комплексных переменных). При этом полезным дополнением к теореме является теорема о С- выпуклой оболочке [2]; пусть, в условиях Б. т. "острие клина", [img: http://localhost:8080/file/010215-25.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010215-26.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010215-27.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010215-28.jpg] - выпуклый острый конус; тогда где [img: http://localhost:8080/file/010215-29.jpg] - голоморфности оболочка области [img: http://localhost:8080/file/010215-30.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010215-31.jpg] - действительное сечение области [img: http://localhost:8080/file/010215-32.jpg] есть [img: http://localhost:8080/file/010215-33.jpg] - выпуклая оболочка множества [img: http://localhost:8080/file/010215-34.jpg], т. е. наименьшее открытое множество, содержащее [img: http://localhost:8080/file/010215-35.jpg] и обладающее тем свойством, что если точки [img: http://localhost:8080/file/010215-36.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010215-37.jpg] из [img: http://localhost:8080/file/010215-38.jpg] могут быть соединены С-подобной кривой, целиком лежащей в [img: http://localhost:8080/file/010215-39.jpg] то и все гомотопные ей кривые лежат в [img: http://localhost:8080/file/010215-40.jpg]