Бюффона задача

об игле - классическая задача теории геометрических вероятностей, по праву считающаяся исходным пунктом развития этой теории. Впервые была отмечена Ж. Бюффоном в 1733 и воспроизведена вместе с решением в [1]. Ж. Бюффон рассматривал следующую ситуацию: на плоскость, разграфленную параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии а, наудачу бросается игла длиною [img: http://localhost:8080/file/010220-335.jpg]. Какова вероятность того, что игла пересечет одну из проведенных параллелей? Очевидно, что положение иглы определяется расстоянием хот ее центра до ближайшей прямой линии и острым углом [img: http://localhost:8080/file/010220-336.jpg], составленным иглой с перпендикуляром к этой линии. Величина хлежит между нулем и [img: http://localhost:8080/file/010220-337.jpg] - между нулем и [img: http://localhost:8080/file/010220-338.jpg]. Предполагается, что точка [img: http://localhost:8080/file/010220-339.jpg] распределена равномерно в соответствующем прямоугольнике (это равносильно тому, что случайные величины хи [img: http://localhost:8080/file/010220-340.jpg] независимы и равномерно распределены на [img: http://localhost:8080/file/010220-341.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010220-342.jpg]). Тогда искомая вероятность определяется как отношение площадей, соответствующих благоприятствующим и всем возможным исходам, и равна [img: http://localhost:8080/file/010220-343.jpg] В свое время Б. з. послужила основой для экспериментальной проверки Бернулли теоремы. Действительно, если игла бросается праз и в тслучаях игла пересекает одну из линий, то частота [img: http://localhost:8080/file/010220-344.jpg] при больших ппо теореме Бернулли должна быть близка к вероятности (*). Это соображение было использовано многими исследователями для определения числа я методом случайных испытаний (см. [1], [2]). Ж. Бюффон рассматривал и другие сходные задачи, в частности задачу о вероятности пересечения иглой линий, принадлежащих двум взаимно перпендикулярным системам, к-рые разбивают плоскость на прямоугольники со сторонами аи Ь, соответственно. Ответ Ж. Бюффона к этой задаче неверен. Правильный ответ: [img: http://localhost:8080/file/010220-345.jpg] был указан П. Лапласом (РLaplace) в 1812.