Вариационная задача

- 1) В. з. с закрепленными концами - задача вариационного исчисления, в к-рой концы кривой, доставляющей экстремум, зафиксированы. Напр., в простейшей задаче вариационного исчисления [img: http://localhost:8080/file/010301-181.jpg] с закрепленными концами заданы начальная и конечная точки [img: http://localhost:8080/file/010301-182.jpg] через к-рые должна проходить искомая кривая [img: http://localhost:8080/file/010301-183.jpg]. Учитывая, что общее решение Эйлера уравнения простейшей задачи зависит от двух произвольных постоянных [img: http://localhost:8080/file/010301-184.jpg] кривая, доставляющая экстремум, ищется среди решений соответствующей краевой задачи. При этом может оказаться, что краевая задача имеет единственное решение, неединственное или не имеет решения. 2) В. з. со свободными (подвижными) концами - задача вариационного исчисления, в к-рой концы кривой, доставляющей экстремум, могут перемещаться вдоль заданных многообразий. Напр., если в Больца задаче число граничных условий, к-рым должна удовлетворять искомая кривая [img: http://localhost:8080/file/010301-185.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010301-186.jpg] строго меньше [img: http://localhost:8080/file/010301-187.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010301-188.jpg] то концы кривой могут смещаться вдоль [img: http://localhost:8080/file/010301-189.jpg] мерного многообразия (*). В случае, когда граничные условия (*) заданы в виде [img: http://localhost:8080/file/010301-190.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010301-191.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/010301-192.jpg], концы кривой x(t).могут смещаться по соответствующим многообразиям размерностей [img: http://localhost:8080/file/010301-193.jpg]. На концах кривой, доставляющей экстремум, должны выполняться трансверсальности условия, к-рые-.в совокупности с условиями (*) позволяют получить.замкнутую систему соотношения, приводящую к нек-рей краевой задаче. Из решения этой краевой задачи определяются произвольные постоянные, входящие в общий интеграл уравнения Эйлера. Качественным отличием В. з. от задачи на экстремум функции многих переменных является то, что объектом поиска в В. з. является не точка в конечномерном пространстве, а функция (или точка в бесконечномерном пространстве). И. Б. Вапнярский.