Сектор

в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. 1) [img: http://localhost:8080/file/041904-74.jpg].- открытый криволинейный сектор Sсвершиной в изолированной особой точке О автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка: [img: http://localhost:8080/file/041904-75.jpg] (*) [img: http://localhost:8080/file/041904-76.jpg], G - область единственности, удовлетворяющая следующим четырем условиям. 1) Каждая из боковых стенок Sявляется ТО- кр и в о й системы (*) (полутраекторией, примыкающей при [img: http://localhost:8080/file/041904-77.jpg] к точке О, касаясь в ней определенного направления). 2) Задней стенкой Sявляется простая параметрич. дуга (гомеоморфный образ отрезка). 3) В [img: http://localhost:8080/file/041904-78.jpg] нет особых точек системы (*). Четвертым условием является одно из трех следующих. 4а) Все траектории системы (*), начинающиеся в S, покидают этот сектор как с возрастанием, так и с убыванием t;такой С. наз. гиперболическим, или седловым (рис.1). 46) Все траектории системы (*), начинающиеся в Sв достаточной близости от О, с возрастанием t, не выходя из S, примыкают к точке О, а с убыванием tпокидают S(или наоборот); такой С. наз. параболическим, или открытым узловым (рис. 2). 4в) Все траектории системы (*), начинающиеся в S в достаточной близости от О, как с возрастанием, так и с убыванием t, не выходя из S, примыкают к точке О, образуя вместе с Озамкнутые кривые (п е т л и), причем из любых двух петель одна охватывает другую; такой С. наз. э л л и п т и ч е с к и м, или з а м к н у т ы м у з л о в ы м (рис. 3). [img: http://localhost:8080/file/041904-79.jpg] Для аналитич. системы (*), имеющей ТО -кривые, круг Qдостаточно малого радиуса с центром в точке Овсегда может быть разбит на конечное число С. описанного вида: hгиперболических, рпараболических и еэллиптических (см. [1], [2]). Выявить все эти С., определить тип каждого из них и установить для них закон следования друг за другом при обходе точки Опо границе круга Q(и тем самым выяснить топологич. структуру расположения траекторий системы (*) в окрестности точки О)можно, напр., с помощью Фроммера метода. Для чисел h, р и е имеются априорные оценки сверху через порядок малости нормы [img: http://localhost:8080/file/041904-80.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/041904-81.jpg] (см. [1], [4], [5]). Иногда (см., напр., [3]) понятие "С." определяется свободнее: в гиперболич. и параболич. С. допускается наличие петель, покрывающих множество, не имеющее предельных точек на задней стенке С., а в эллиптич. С. - наличие петель, не охватывающих друг друга. При этом первая фраза предыдущего абзаца сохраняет силу и для систем (*) общего вида, а индекс Пуанкаре особой точки Осистемы (*) выражается ф о р м у л о й Б е н д и к с о н а: [img: http://localhost:8080/file/041904-82.jpg]