191_1

В данной работе представлен сравнительный анализ эффективности использования линейной и нелинейн ой моделей ТЭС при исследовании надежности энергоснабжения территории . В моделях представлены различны е типы генер ирующего оборудования, описанные в виде аналитических зависимостей, полученных путем аппроксимации графиков и диаграмм типовых характеристик и руководящих документов . Это позволяет учитывать изменение расхода топлива в зависимости от производимого объема т епла и электроэнергии. Результаты вычислительного эксперимента показали, что применение нелинейных моделей позволяет более точно оценить уровень надежность энергоснабжения, что может быть полезно при планировании и проектировании энергетических систем. Клю чевые слова: топливно -энергетический комплекс, теплоэлектростанция, моделирование, расходные характеристики, надёжнос ть, энергетическая безопасность Цитирование : Пискунова В.М. Анализ эффективности применения нелинейных моделей тепловых электростанций при исследовании надежности энергоснабжения потреб ителей / В.М. Пискунова, Д.С. Крупенёв // Информационные и математические технологии в науке и управлении. – 2023. – № 3(31). – С. 86-93. – DOI: 10.25729/ESI.2023.31.3.008 . Введение. Нарушени е надёжности топливо - и энергоснабжения потребителей может приводить к экономическому ущербу и даже нарушению безопасности государства. Тепловые электростанции, благодаря возможно сти производить большие объемы тепл овой и электриче-ской энергии , являются важным, иногда единственным источником централизованной энер-госнабжения для крупных территорий. В настоящее время в России доля ТЭС в балансе гене-рации электр оэнергии составляет боле е 60 %, что показывает важность надежной и беспере-бойной работы этих объектов. Для оценки надежности энергоснабжения потребителей необходим а разработк а матема-тических моделей разных видов ТЭС с учетом технологически х процессов . Целью данной ра-боты является сравнение применения нелинейных и линейных моделей ТЭС для анализ а надежности энергоснабжения потребителей. 1. Характеристика подходов к моделировани ю ТЭС . Математическое моделировани е работы ТЭС должно отражать топливную, элект роэнергетическую и теплоснабжающую под-системы объекта. Для корректного моделирования топливоснабжения необходимо учитывать зависимости расхода топлива от генерации тепло - и электроэнергии на ТЭС. Это может быть сделано с использованием разных подходов. Во -первых, использование упроще нной модел и, агрегирующ ей вышеуказанные зависимости совокупности ТЭС, находящихся в одной энерго-зоне. Основной проблемой при этом является низкая точность результата. Положительной стороной подхода является относительная простот а при реализации и интерпретации резуль-татов [1-4]. Во -вторых, использование модел и, построенн ой по точным параметрам работы и паспортным данным оборудования ТЭС. Этот подход является наиболее точным и детальным, так как учитывает состояние энергоносителя на каждом этапе производства тепло - и электро-энергии. Трудности связаны с необходимостью иметь детальную информацию по каждому генерирующему объекту, которая часто труднодоступна [5 -12]. Третий подход основан на по-Анализ эффективности применения нелинейных моделей тепловых электростанций «Информационные и математические технологии в науке и управлении» 2023 № 3 (31) 87 строении модели путем аппроксимации диаграмм режимов работы оборудования. При моде-лировани и топливоснабжения ТЭС в предыдущих работах авторов [13] для получения зависи-мости расхода топлива от производимого ими объема тепла и электроэнергии был реализован третий подход . Основным его п реимуществом является учет состояни я энергоносителей на каждом этапе процесса производства тепла и энергии. Для моделирования технических процессов производства электроэнергии и тепла были рассмотрены основные типы станций, вкл ючая конденсационные электростанции (КЭС), теп-ловые электростанции (ТЭЦ), газотурбинные установки (ГТУ) и парогазотурбинные станции (ПГУ). Аналитические зависимости, необходимые для их математического моделирования, были получены методом наименьших квадрат ов путем аппроксимации графиков и диаграмм из типовых характеристик и руководящих документов. Сравнение результатов четырех спосо-бов аппроксимации, таких , как среднее значение, линеаризованный, квадратичный и кубиче-ский, позволило определить оптимальные за висимости. Были получены аналитические зави-симости между потреблением топлива и тепловой и электрической нагрузкой для различных типов тепловых агрегатов на тепловых электростанциях. Для паровых турбин получены зави-симости количества тепла, подводимого к т урбине, от нагрузки (электрической или тепловой, в зависимости от типа турбины) с помощью метода наименьших квадратов для аппроксима-ции типовых диаграмм. Для котлоагрегатов были применены четыре способа аппроксимации зависимости коэффициента полезного дейс твия от тепловой нагрузки: усреднение, линейная регрессия, квадратичная регрессия и кубическая регрессия. После аппроксимации было опре-делено, что только линейная зависимость имеет практически одинаковый коэффициент детер-минации для всех методов , поэтому д ля моделирования работы тепловых электростанций це-лесообразно использовать линейную зависимость между КПД и тепловой нагрузкой. Для ГТУ и ПГУ проводилась аппроксимация зависимости КПД от нагрузки. В результате были полу-чены полиномы второго порядка. 2. Вычислительный эксперимент . Ранее выполненные исследования [13] стали осно-вой для сравнительного анализа эффективности применения линейных и нелинейных моделей тепловых электростанций при исследовании надежности энергоснабжения потребителей. Ис-следуемая усло вная (тестовая) энергетическая система (рис. 1) содержит три энергетических района, которые могут обмениваться друг с другом следующими энергоресурсами: электри-чеством, газом и углем. Каждый район имеет свои собственные системы теплоснабжения, ко-торые отражаются в модели как производство и потребление тепловой энергии. В районе 1 имеется источник газа, а в районе 3 – источник угля. ТЭС во всех районах представлены уголь-ными, газовыми или парогазовыми ТЭЦ и КЭС. Целевой функцией модели является минимизац ия дефицита энергии. Весовые коэффи-циенты функции цели определяются экспертно : 𝑚in𝑞=с1∙∑∆𝑃𝑖+с2∙∑∆𝑇𝑖+с3∙∑∆𝑆𝑖+с4∙∑∆𝐶𝑖+с5∙∑∆𝐺𝑖, (1) где с1…с5 – весовые коэффициенты дефицитов энергоресурсов. Они показывают размер штрафов за недопоставку энергоресурсов , ∆𝑃𝑖 – дефицит электроэнергии, ∆𝑇𝑖 – дефицит теп-ловой энергии, ∆𝑆𝑖 – дефицит промышленного пара, ∆𝐶𝑖 – дефицит угля, ∆𝐺𝑖 – дефицит газа. Пискунова В .М., Крупенёв Д .С. “Information and mathematical technolog ies in science and management” 2023 no. 3 (31) 88 Рис. 1. Схема тестовой трехузловой энергосистемы Анализ эффективности применения нелинейных моделей тепловых электростанций «Информационные и математические технологии в науке и управлении» 2023 № 3 (31) 89 Балансовые уравнения модели имеют следующий вид . Балансовое уравнение электроэнергии: ∑(𝑃𝐶𝐻𝑃 𝑔 𝑖𝑘+𝑃𝐶𝐻𝑃 𝑐 𝑖𝑘+𝑃𝐶𝑃𝑃 𝑔 𝑖𝑘+𝑃𝐶𝑃𝑃 𝑐 𝑖𝑘𝐾𝑘=1)+𝑃𝑗𝑖−𝑃𝑖𝑗𝑘𝑃−𝐶𝑜𝑛𝑠 𝑃𝑖+∆𝑃𝑖=0, (2) где k – порядковый номер агрегата на тепловой электростанции района i. Балансовое уравнение тепловой энергии : ∑(𝑇𝐶𝐻𝑃 𝑔 𝑖𝑘+𝑇𝐶𝐻𝑃 𝑐 𝑖𝑘)𝐾𝑘=1−𝐶𝑜𝑛𝑠 𝑇𝑖+∆𝑇𝑖=0. (3) Балансовое уравнение промышленного пара : ∑(𝑆𝐶𝐻𝑃 𝑔 𝑖𝑘+𝑆𝐶𝐻𝑃 𝑐 𝑖𝑘)𝐾𝑘=1−𝐶𝑜𝑛𝑠 𝑆𝑖+∆𝑆𝑖=0. (4) Балансовое уравнение угля : С+С𝑗𝑖−𝐶𝑖𝑗𝑘𝑐−∑(𝐶𝐶𝐻𝑃 𝑖𝑘+𝐶𝐶𝑃𝑃 𝑖𝑘𝐾𝑘=1)−𝐶𝑜𝑛𝑠 𝐶𝑖+∆С𝑖=0, (5) где 𝐶𝐶𝐻𝑃 𝑖𝑘=𝑘1∙𝑃𝐶𝐻𝑃 𝑐 𝑖𝑘+𝑘2∙𝑆𝐶𝐻𝑃 𝑐 𝑖𝑘+𝑘3∙𝑇𝐶𝐻𝑃 𝑐 𝑖𝑘+𝑘4𝜂𝑐∙𝑄𝑐 – количество угля, потребляемого котельным агрегатом k на ТЭЦ района i , 𝐶𝑇𝑃𝑃 𝑖𝑘=𝑘1∙𝑃𝑇𝑃𝑃 𝑐 𝑖𝑘+𝑘2𝜂𝑐∙𝑄𝑐 – количество угля, потребляемого котель-ным агрегатом k на КЭС района i , 𝜂с=𝑓(𝑃𝐶𝐻𝑃 /𝑇𝑃𝑃 𝑐 𝑖𝑘) – линейное уравнение, описывающее зависимость КПД котлоагрегата от нагрузки , 𝑄𝑐 – теплотворная способность угля , 𝑘𝑐 – коэф-фициент, учитывающий потери при транспортировке угля. Балансовое уравнение газа : 𝐺+𝐺𝑗𝑖−𝐺𝑖𝑗𝑘𝑔−∑ (𝐺𝐶𝐻𝑃 𝑖𝑘+𝐺𝐶𝑃𝑃 𝑖𝑘𝐾𝑘=1 )−𝐶𝑜𝑛𝑠 𝑔𝑖+∆𝐺𝑖=0, (6) где 𝐶𝐶𝐻𝑃 𝑖𝑘=𝑃𝐶𝐻𝑃 𝑔 𝑖𝑘+𝑘1∙𝑃𝐶𝐻𝑃 𝑔 𝑖(𝑘+1)+𝑘2∙𝑆𝐶𝐻𝑃 𝑔 𝑖(𝑘+1)+𝑘3∙𝑇𝐶𝐻𝑃 𝑔 𝑖(𝑘+1)+𝑘4𝜂𝑔∙𝑄𝑔 – количество газа, потребля-емое турбиной k на ТЭЦ района t i, 𝐶𝐶𝑃𝑃 𝑖𝑘=𝑃𝐶𝑃𝑃 𝑔 𝑖𝑘𝜂𝑔∙𝑄𝑔 – количество газа, потребляемое турбиной k на КЭС района i , 𝜂𝑔=𝑓(𝑃𝐶𝐻𝑃 /𝐶𝑃𝑃 𝑔 𝑖𝑘) – нелинейное уравнение, описывающее зависимость КПД турбины от нагрузки, 𝑄𝑔 – теплотворная способность газа , 𝑘𝑔 – коэффициент, учитыва-ющий потери при транспортировке газа. Исходные данные и ограничения переменных в модели задавались таким образом, что бы энергосистема могла обеспечить всех потребителей необходимыми энергоресурсами. Соот-ветственно, следующим шагом вычислительного эксперимента стало моделирование аварий-ных ситуаций при передаче энергоресурсов, сокращении или прекращении производства топ-лива и выводе из строя электростанций. Для этого мы изменили ограничения на верхнюю гра-ницу соответствующей переменной, тем самым уменьшив количество доступных энергоре-сурсов. Для анализа недостатков системы мы провели вычислительные эксперименты для шести сцен ариев: 1) отказ линии электропередачи между районами 1 и 2; 2) отключение железной дороги между районами 2 и 3; 3) сокращение вдвое добычи угля в районе 3; 4) сокращение на 1/4 добычи газа в районе 1; 5) нарушение работы газовой К ЭС района 1; Пискунова В .М., Крупенёв Д .С. “Information and mathematical technolog ies in science and management” 2023 no. 3 (31) 90 6) нарушение работы угольной ТЭ Ц в районе 3. Для анализа эффективности предложенных линейной и нелинейной математических мо-делей тепловых электростанций мы сравнили результаты минимизации дефицита. Сравнение проводилось с одними и теми же исходными данными в сценарии отсутствия дефицита , а также в 6 сценариях, описанных выше. Для формирования линейной модели ТЭС зависимости КПД от коэффициента загрузки энергоблока были заменены на среднее значение КПД. Таким образом, балансовые уравнения и ограничения модели остались неизменными. Результ аты расчетов. Эксперимент проводился с использованием двух методов: ме-тода внутренних точек для линейной модели, реализованной в МATLAB и метода Франка -Вольфа для нелинейной модели, реализованной в Excel. Поскольку исходные данные для обеих моделей были од инаковыми, разница в значениях целевой функции (рис. 2) объясняется более точным расчетом необходимого количества топлива для ТЭС в нелинейной модели. Раз-ница в значениях целевых функций в сценариях 2 и 6 незначительна, поэтому трудно оценить эффективность нелинейной модели. Рис. 2. Сравнение полученных значений целевой функции (в у.е.) в линейной и нелинейной моделях В нелинейной модели в сценарии 4 и бездефицитном сценарии дефицит отсутствует, то-гда как в линейной модели он есть (рис. 3). Наибольшая разница в моделях проявляется в сце-нарии 3, где объективная функция линейной модели в 1,8 раза выше, чем объективная функция нелинейной модели. Это связано с тем, что в данном сценарии моделировалось снижение до-бычи угля, а так как в линейной модели потреб ление топлива на ТЭС завышено, то прямо пропорционально увеличивается дефицит вырабатываемого тепла и электроэнергии. Из вы-шесказанного можно сделать вывод о необходимости использования нелинейной модели. Наибольший дефицит в о всех сценариях наблюдался в первой энергетической зоне. По-дача электроэнергии в этой энергозоне снижается или прекращается почти во всех смодели-рованных аварийных ситуациях. Это связано с тем, что, согласно исходным данным, в районе 1 существует отрицательный баланс электроэнергии (потребление в районе превышает выра-ботку), поэтому он зависит от поставок электроэнергии из районов 2 и 3. Район 2 не имеет собственного источника топлива, поэтому в случае перебоев с поставками топлива возникает дефицит тепла и элек троэнергии. Район 3 полностью покрывает собственные потребности в энергоресурсах, а также экспортирует уголь и электроэнергию, поэтому дефицит возникает только в чрезвычайных ситуациях внутри энергетического района. Анализ эффективности применения нелинейных моделей тепловых электростанций «Информационные и математические технологии в науке и управлении» 2023 № 3 (31) 91 Рис. 3. Сравнение полученных суммарных дефицитов (в у.е.) в линейной и нелинейной моделях Заключение. Изучение проблем обеспечения надежного энергоснабжения и снабжения топливом является неотъемлемой составляющей процесса планирования развития энергети-ческих систем. Это обусловлено, прежде вс его, высокой стоимостью отказа энергооборудова-ния, а также ущербом для потребителей в результате прерывания поставок энергии. В рамках статьи был описан метод , используемый для моделирования работы ТЭС на основе использования параметров работы оборудования . Этот способ описания тепловых электростанций является наиболее пригодным для анализа надежности топливо - и энергоснаб-жения, так как он дает необходимую точность расчетов и учитывает специфику различного генерирующего оборудования, не опускаясь при этом на уров ень микропараметров. Далее эти взаимосвязи были интегрированы в модель условной энерг осистемы. При сравнении результатов оптимизации линейной и нелинейной моделей энергоснаб-жения территории видно, что в линейной модели практически во всех сценариях суммар ные дефициты значительно больше, чем в нелинейной (рис. 3). Среднее отклонение значений для всех сценариев равно 39,6%, что показывает эффективность и точность нелинейной модели. Значения целевых функций в моделях также различно (рис. 2). В сценариях 0 и 4 целевая функ-ция в нелинейной модели принимает нулевое значение, тогда как в линейной модели есть де-фициты энергоресурсов, за которые накладываются штрафы. Среднее отклонение целевой функции для всех сценариев равно 12,53%. Нелинейная модель показала меньш ий дефицит, чем линейная модель во всех сценариях. Таким образом, в ходе вычислительного эксперимента было установлено, что нелинейная мо-дель с высокой степенью точности находит минимальное значение дефицита энергоресурсов в различных чрезвычайных ситуация х. Список источников 1. 3оркальцев В.И. Методы прогнозирования и анализа эффективности функционирования системы топли-воснабжения / В.И. 3оркальцев.  М.: Наука, 1988.  144с 2. Надежность систем энергетики и их оборудования / под общей редакцией Ю.Н. Руденко. М .: Энергоатом-издат, 1994.  480 с. 3. Антонов Г.Н. Методы и модели исследования живучести систем энергетики / Г.Н. Антонов, Г.П. Черкесов, Л.Д. Криворуцкий [и др. ]  Новосибирск: Наука, 1990.  285 с. 4. Иерархическое моделирование систем энергетики / под. ред. Воропая Н.И., Стенникова В.А. Новосибирск: Академическое изд -во «Гео», 2020.  314 с.  DOI:10.21782/B978 -5-6043021 -9-4. Пискунова В .М., Крупенёв Д .С. “Information and mathematical technolog ies in science and management” 2023 no. 3 (31) 92 5. Qian Z., Agnew B. An assessment of Horlock’s approximate analysis of feed and district heating cycles for steam and CHP plant . Thermal Science and Engineering Progre ss, 2021 , vol. 22. 6. Santos M., Andre J., Mendes R., et al. Design and modelling of a small scale biomass -fueled CHP system based on Rankine technology . Energy Procedia , 2017 , vol. 129 , pp. 676 -683. 7. Wang Y., Wehrle L., Baneijee A., et al. Analysis of a biogas -fed SOFC CHP system based on multi -scale hierar-chical modeling. Renewable Energy, 2021 , vol. 163 , pp. 78 -87. 8. Horlock J.H. Approximate analyses of feed and district heating cycles for steam combined heat and power p lant. Proceedings of the institution of mechanical engineers . Part A: Power and process engineering, 1987 , vol. 201, no. 3, pp. 193 -200. 9. Новосёлов В.Б . Повышение эффективности работы электростанций путём организации дополнительных отборов пара от паровых т урбин / В.Б. Новосёлов, Ю.М. Бродов, E.B. Литвинов, и др. // Известия высших учебных заведений. ПРОБЛЕМЫ ЭНЕРЕЕТИКИ , 2018.  Т. 20.  № 1-2.  С. 90 -99. 10. Клер А.М. Математическое моделирование установок комбинированного производства жидких углеводо-родов и э лектроэнергии на основе угля / А.М. Клер, Э.А. Тюрина, А.С. Медников // Химия твердого топ-лива , 2020.  № 3.  С. 14 -26. 11. Клер А.М. Эффективная методика настройки математических моделей теплоэнергетического оборудова-ния на его фактическое состояние / А.М. Клер, В.Э. Алексеюк // Вестник Пермского национального иссле-довательского политехнического университета. Электротехника, информационные технологии, системы управления, 2019.  № 31.  С. 136 -158. 12. Клер А.М. Оптимизация режимов работы ТЭЦ для максими зации прибыли в условиях балансирующего рынка электроэнергии / А.М. Клер, А.С. Максимов, А.В. Чалбышев [и др. ] // Известия Росси йской Акаде-мии Наук. Энергетика, 2014.  № 2.  С. 71 -80 13. Крупенев Д.С. Моделирование тепловых электростанций при исследовании на дёжности энергоснабжения и энергетической бе зопасности / Д.С. Крупенев, В.М. Пискунова, А. Г. Гальфингер // Известия высших учебных заведений. Проблемы энергетики , 2023. – Т. 25, № 2. – С. 12 -25. – DOI 10.30724/1998 -9903 -2023 -25-2-12-25. – EDN QVZNGU. Крупенёв Дмитрий Сергеевич. Канд. техн. наук, заведующий лабораторией "Надёжности топливо - и энергоснабжения" ИСЭМ СО РАН . AuthorID : 668302, SPIN : 4408 -2996, ORCID : 0000 -0002 -3093 -4483, krupenev@isem.irk.ru Пискунова Виктория Михайловна. Аспирант ИРНИТУ, ас систент кафедры теплоэнергетики . AuthorID : 921278 , SPIN : 6951 -4829 , ORCID : 0000 -0003 -4019 -8472, vitapiskunova 98@ gmail .com UDC 621.311.22 DOI: 10.25729/ESI.2023.31.3.008 Analysis of the efficiency of non -linear models of thermal power plants in the study of the reliability of the power supply to the consumers security and reliability of power supply to consumers Victoria M. Piskunova1, Dmitry S. Krupenev2 1 National Research Irkutsk State Technical University, Russia , Irkutsk, vitapiskunova98@gmail.com 2 Melentiev Energy Systems Institute SB RAS, Russia, Irkuts k, vitapiskunova98@gmail.com Abstract. This paper considers the modeling of a test power system with three nodes to analyze the effectiveness of using nonlinear models of thermal power plants in the study of energy security and reliability of power supply. Within the framework of the modeling, experiments were conducted using various types of generating equipment and loads, as well as calculations based on nonlinear mode ls. The results of the simulation showed that the use of nonlinear models makes it possible to more accurately assess the level of energy security and energy supply reliability, which can be useful in planning and designing energy systems. Keywords: energy sector, thermal power plant, modeling, consumption characteristics, reliability, energy security Анализ эффективности применения нелинейных моделей тепловых электростанций «Информационные и математические технологии в науке и управлении» 2023 № 3 (31) 93 References 1. Zorkal'cev V.I. Metody prognozirovaniya i analiza effektivnosti funkcionirovaniya sistemy toplivosnabzheniya [Methods for forecasting and analyzing the efficiency of the fuel supply system]. M.: Nauka [Science], 1988 , 144 p. 2. Rudenko YU.N. et al. Nadezhnost' sistem energetiki i ih oborudovaniya [Reliability of energy systems and their equipment] . M.: Energoatomizdat, 1994 , 480 p. 3. Antonov G.N. CHerkesov G.P., Krivoruckij L.D. [et al. ] Metody i modeli issledovaniya zhivuchesti sistem ener-getiki [Methods and models for studying the survivability of energy systems] . Novosibirsk: Nauka [Science] , 1990 , 285 p. 4. Voropay N.I., Stennikov V.A. [et al. ] Ierarhicheskoe modelirovanie sistem energetiki [Hierarchical modeling of energy systems]. Novosibirsk: Akad emicheskoe izd -vo “Geo” [Academic publishing house “Geo”] , 2020 , 314 p, DOI: 10.21782/V978 -5-6043021 -9-4. 5. Qian Z., Agnew B. An assessment of Horlock’ s approximate analysis of feed and district heating cycles for steam and CHP plant. Thermal Science and Engineering Progress, 2021, vol. 22. 6. Santos M., Andre J., Mendes R. [et al. ] Design and modelling of a small scale biomass -fueled CHP system based on Ra nkine technology. Energy Procedia, 2017, vol. 129, pp. 676 -683. 7. Wang Y., Wehrle L., Baneijee A. [et al. ] Analysis of a biogas -fed SOFC CHP system based on multi -scale hierar-chical modeling. Renewable Energy, 2021, vol. 163, pp. 78 -87. 8. Horlock J.H. Approxi mate analyses of feed and district heating cycles for steam combined heat and power plant. Proceedings of the Institution of mechanical engineers, Part A: Power and process engineering, 1987, vol. 201, no. 3, pp. 193 -200. 9. Novoselov V .B., Brodov Y .M., Litvi nov E .V. [et al. ] Povysheniye effektivnosti raboty elektrostantsiy putom or-ganizatsii dopolnitel'nykh otborov para ot parovykh turbin [Increase efficiency of electric power stations by way of organization of additional choice of steam from steam turbines ]. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. PROBLEMY ENEREYETIKI [Proceedings of the higher educational institutions. ENERGY SECTOR PROB-LEMS ], 2018, no. 20(1-2), pp. 90-99. 10. Kler A .M., Tyurina E .A., Mednikov A .S. Matematicheskoe modelirovanie ustanovok kombin irovannogo pro-izvodstva zhidkikh uglevodorodov i elektroenergii na osnove uglya [Mathematical modeling of plants for the com-bined production of liquid hydrocarbons and electricity based on coal] . Solid fuel chemistry [ Khimiya tverdogo topliva ], 2020 , no. 3 , pp. 14-26. 11. Kler A .M., Alekseyuk V .E. Effective adjustment technique of mathematical models of thermal power equipment on its actual condition [ Effektivnaya metodika nastroiki matematicheskikh modelei teploenergeticheskogo obo-rudovaniya na ego faktichesk oe sostoyanie ]. Vestnik Permskogo natsional'nogo issledovatel'skogo politekhnich-eskogo universiteta. Elektrotekhnika, informatsionnye tekhnologii, sistem y upravleniya [Bulletin of the Perm Na-tional Research Polytechnic University. Electrical engineering, information technology, control systems] , 2019 , no. 31, pp. 136-158. 12. Kler A .M., Maksimov A .S., Chalbyshev A .V. [et al. ] Optimizatsiya rezhimov raboty TETs dlya maksimizatsii pribyli v usloviyakh balansiruyushchego rynka elektroenergii [Optimization of cog eneration plant operation for maximization of profit in balancing electricity market] . Izvestiya Rossiiskoi Akadem ii Nauk. Energetika [Proceed-ings of the RAS. Power engineering] , 2014 , no. 2, pp. 71 -80. 13. Krupenev D.S., Piskunova V.M., Galfinger A.G. Modelirovaniye teplovykh elektrostantsiy pri issledovanii nadozhnosti energosnabzheniya i energeticheskoy bezopasnosti [Modelling the combined heat and power plants with steam turbines in the study of energy security problems ]. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy Problemy energetiki [Power engineering: research, equipment, technology ], 2021, no. 25(1) , pp. 816-828, DOI: 10.30724/1998 -9903 -2023 -25-2-12-25, EDN QVZNGU. Krupenev Dmitry Sergeevich. Candidate of Technical Sciences, Head of the laboratory of reliability of fuel and energy supply, ISEM SB RAS . AuthorID : 668302, SPIN : 4408 -2996, ORCID : 0000 -0002 -3093 -4483, krupe-nev@isem.irk.ru Piskunova Victoria Mikhailovna. Postgraduate student of IRNITU, assistant of the department of heat engi-neering . AuthorID : 921278, SPIN : 6951 -4829, ORCID : 0000 -0003 -4019 -8472, vitapiskunova 98@ gmail .com Статья поступила в редакцию 21.08.2023 ; одобрена после рецензирования 05.09.2023 ; принята к публика-ции 25.09. 2023. The article was submitted 0 8/21/2023; approved after reviewing 09 /05/2023; accepted for publication 0 9/25/2023. Дудаев М.А. “Information and mathematical technol ogies in science and management” 2023 no. 3 (31) 94 Математическое моделирование УДК 519.673 DOI:10.25729/ESI.2023.31. 3.009 Математическая модель балочного конечного элемента Тимошенко Дудаев Михаил Алексеевич Иркутский государственный университет путей сообщения , Россия, Иркутск, dudaev _ma@mail.ru Аннотация. В статье рассмотрен вывод основных физико -математических зависимостей метода конечных элементов для балочного конечного элемента Тимошенко, работающего в условиях поперечного изгиба при статическом и динамическом нагружении и позволяющего более точно аппроксимировать поле перемещений по сравнению с классической теорией изгиба . Показано, что в этом случае податливость конечного элеме нта складывается из двух составляющих: «изгибной» , вызванной действием изгибающего момента и «сдвиговой» , вызванной действием поперечной силы , а угол поворота поперечного сечения отличается от угла наклона касательной к упругой оси изогнутой б алки; при это м податливость сдвига существенно проявляется в коротких балках , длина которых соизмерима с высотой поперечного сечения . Математическая модель построена на основе вариационно -энергетического принципа теории упругости и метода конечных элементов. Для указан ного типа конечного элемента получены полиномиальные функции формы, служащие для аппроксимации поля перемещений, с применением дифференциальных зависимостей, известных из курсов сопротивления материалов и теории упругости. Получен ы матрица градиентов функций форм , позволяющая определить вектор деформаций по известным значениям поля узловых перемещений , и матриц а жесткости, имеющ ая ключевое значение в решени и разрешающей системы линейных алгебраических уравнений метода конечных элементов , выражение век тора напряжений и внутренних силовых факторов при поперечном изгибе , позволяющее определить их на основании узловых перемещений . Для полученн ой модели конечного элемента проведен анализ точности численного решения метода конечных элементов по отношению к а налитическому и представлено расхождение результатов расчета при использовании модели чистого изгиба балки и модели Тимошенко.