Линейная регрессия

одной случайной переменной Y=(Y(1),..., Y(m))' по другой Х=(Х (1),..., Х (p))' - линейная по xm-мерная векторная форма, описывающая зависимость условного математич. ожидания (при условии Х=x).случайного вектора Y от значений x = (х (1)..., х (p))'. Соответствующие уравнения [img: http://localhost:8080/file/031314-106.jpg] наз. уравнениями линейной регрессии Y по X, а параметры bkj - коэффициентами регрессии (см. также Регрессия). В приложениях допускается интерпретация переменной X как наблюдаемого параметра (не обязательно случайного), от к-рого зависит математич. ожидание исследуемого результирующего показателя Y(X). Кроме того, часто под Л. р. Y(k) по X понимают "наилучшую" (в определенном смысле) линейную аппроксимацию Y(k) посредством величин X или результат наилучшего (в определенном смысле) выравнивания имеющейся системы экспериментальных точек ("наблюдений") [img: http://localhost:8080/file/031314-107.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031314-108.jpg] с помощью гиперплоскости в пространстве [img: http://localhost:8080/file/031314-109.jpg] в ситуациях, когда интерпретация совокупности этих точек как выборки из соответствующей генеральной совокупности может и не быть правомочной. При таком определении приходится различать разные варианты Л. р. в зависимости от выбора способа вычисления ошибки линейной аппроксимации Y(k) посредством величин X (или в зависимости от конкретного выбора критерия качества выравнивания). Наиболее распространенными критериями качества аппроксимации Y(k) с помощью линейных комбинаций X (линейного выравнивания точек [img: http://localhost:8080/file/031314-110.jpg]) являются: [img: http://localhost:8080/file/031314-111.jpg] В этих соотношениях выбор "весов" w(X) или wi зависит от природы конкретной исследуемой схемы. Так, напр., если Y(k)(X) интерпретируются Как случайные величины, дисперсия к-рых [img: http://localhost:8080/file/031314-112.jpg] (или их оценки) известны, то [img: http://localhost:8080/file/031314-113.jpg] В последних двух критериях "невязки" аппроксимации или выравнивания измеряются расстояниями [img: http://localhost:8080/file/031314-114.jpg] от Y(k)(X)или [img: http://localhost:8080/file/031314-115.jpg] до искомой гиперплоскости регрессии. Если коэффициенты bki определяются из условия минимизации величин [img: http://localhost:8080/file/031314-116.jpg] то Л. р. наз. средней квадратической; при использовании критериев [img: http://localhost:8080/file/031314-117.jpg] Л. р. наз. средней модульной (или средней абсолютной); при использовании критериев [img: http://localhost:8080/file/031314-118.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031314-119.jpg] - ортогональной. В не-к-рых случаях Л. р. в классич. смысле (*) совпадает с Л. р., определенной с использованием функционалов типа Qi. Так, напр., если вектор [img: http://localhost:8080/file/031314-120.jpg] подчиняется многомерному нормальному закону, то регрессия Y(k) по X в смысле (*) совпадает со средней квадратичсской Л. р. (при w(X) = 1).