Пикара последовательных приближений метод

Даны ОДУ $$y^{\text{'}}=f\left(x,y\right)\left(1\right)$$ и начальное условие $$y\left(x_0\right)=y_0\left(2\right)$$ и при этом: <br/> <br/> <p> $1^{?}.$ Функция $f\left(x,y\right)$ определена и непрерывна в области $$R=\{|x-x_0|?a<,|y-y_0|?b<\}$$ и пусть $\left|f\left(x,y\right)\right|?M<$ для всех $\left(x,y\right)?R.$ <br/> <p> $2^{?}.$ Функция $f\left(x,y\right)$ относительно аргумента $y$ удовлетворяет условию Липшица в области $R$ : $$|f\left(x,y_1\right)-f\left(x,y_2\right)|?N?|y_1-y_2|,\left(x,y_1\right)?R,\left(x,y_2\right)?R,N=.$$ Далее, пусть $h=\min \left(a,b/M\right).$ <br/> Тогда при данных условиях $(1^{?}$ и $2^{?})$ существует единственное решение Коши за- дачи (1)—(2) $$y=Y\left(x\right),$$ определенное на отрезке $\left[x_0-h,x_0+h\right]$ и которое является предельной функцией равномерно сходящейся последовательности функций $\left\{y_n\right\},$ где $y_n$ определяются равенствами: $$y\left(x_0\right)=y_0,y_n\left(x\right)=y_0+x_{0}xf\left(t,y_{n-1}\left(t\right)\right)dt,n=1,2,\dots \left(3\right)$$ Итак, $$Y\left(x\right)=\lim y_n\left(x\right),n\text{x}Y\left(x\right)=y_0+x_{0}xf\left(t,Y\left(t\right)\right)dt.$$ Последовательность (3) — Пикара последовательных приближений. О дальнейшем см. цитированную литературу. <br/>