Метод рядов интегрирования ОДУ (первого порядка)

Рассматривается задача Коши $$y^{\text{'}}=f\left(x,y\right),y\left(x_0\right)=y_{0.}\left(1\right)$$ Решение задачи Коши (1) представляют, например, в виде ряда Тейлора в некоторой окрестности $x_0,$ если это допустимо. Тогда приближенное решение имеет вид: $$y_m\left(x\right)=\underset{i=0}{\overset{m}{?}}\left[\frac{{\left(x-x_0\right)}^i}{i!}\right]?y^{\left(i\right)}\left(x_0\right),x_0?x?X,$$ где $y^{\left(0\right)}\left(x_0\right)=y\left(x_0\right)=y_0,$ $y^{\left(1\right)}\left(x_0\right)=y^{\text{'}}\left(x_0\right)=f\left(x_0,y_0\right);$ $y^{\left(i\right)}\left(x_0\right),$ $i=2,3,\dots ,m,$ определяют по формулам, полученным последовательным дифференцированием уравнения (1): $$y^{\left(2\right)}\left(x_0\right)=y^{\text{'}}\text{'}\left(x_0\right)=f_x\left(x_0,y_0\right)+f\left(x_0,y_0\right)?f_y\left(x_0,y_0\right)$$ и т. д. Погрешность в приближенном равенстве $$y\left(x\right)?y_m\left(x\right)$$ зависит от показателя $m$ и области сходимости ряда, т. е. чем меньше разность $|x-x_0|$ и больше $m,$ тем больше точность приближения. <br/>