ТВЕРДОЕ ТЕЛО; ДВИЖЕНИЕ ОКОЛО НЕ ПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ

«Задача об исследовании движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки является, наряду с другой классической задачей механики, так называемой задачей трех тел, одной из самых замечательных задач теоретической механики. Обе эти задачи замечательны тем, что являются непосредственным обобщением задач, решаемых до конца и притом весьма просто классическими средствами математического анализа, и обе они представляют столь большие трудности, что, несмотря на замечательные результаты, полученные при их решении крупнейшими математиками трех последних столетий, еще далеки от полного разрешения» (из введения к книге [1]). Первые результаты, касающиеся движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки, относятся к 50 гг. 18 в.; Л. Эйлер (L. Euler) вывел уравнения, носящие его имя, и отметил простейший случай, когда неподвижной точкой является центр тяжести тела; но только через 80 лет Л. Пуансо (L. Poinsot) дал геометрич. истолкование движения в случае, указанном Л. Эйлером (см. Эйлера - Пуансо случай). В это же время К. Якоби (C. Jacobi) дал полное интегрирование уравнений движения в случае Эйлера при помощи созданной им теории эллиптич. функций, а Ж. Лагранж (J. Lagrange) указал еще один частный случай решения этой задачи, к-рый затем был исследован С. Пуассоном (S. Poisson) (см. Лагранжа - Пуассона случай). После указанных работ долгое время никаких существенных результатов в этой области получено не было (хотя внимание математиков неоднократно обращалось на эту задачу и при Парижской академии наук была даже учреждена специальная премия, к-рая выдавалась за существенное продолжение теории). Решительный шаг вперед был сделан только в 1881 , когда в Парижскую академию наук был представлен мемуар С. В. Ковалевской, к-рым отмечен замечательный прогресс поставленной задачи (см. Ковалевской случай). Задача о движении тяжелого Т.т. около неподвижной точки представляет собой естественное обобщение задачи о качании маятника. Для описания этого движения обычно рассматривают неподвижную прямоугольную систему координат $(\bar{x}, \bar{y}, \bar{z})$, начало к-рой находится в неподвижной точке тела, причем ее ось $\bar{z}$ направлена вертикально вверх, и подвижную систему координат $(x, y, z)$ с тем же началом, неизменно связанную с телом и имеющую оси, направленные по главным осям инерции для неподвижной точки $O$. Далее обозначают: через $\boldsymbol{P}=-\boldsymbol{M g k}$ силу тяжести (направленную вертикально вниз и приложенную в центре тяжести $G$ тела); через $\boldsymbol{k}$ единичный орт, направленный по оси $\bar{z}$ с проекциями $\gamma, \gamma^{\prime}, \gamma^{\prime \prime}$ на оси подвижной системы координат; через $\boldsymbol{r}_{0}=x_{0} \boldsymbol{i}+y_{0} \boldsymbol{j}+z_{0} \boldsymbol{k}$ радиус-вектор центра тяжести $G$ с проекциями $x_{0}, y_{0}, z_{0}$ на оси подвижной системы координат. Тогда скорость изменения кинетич. момента $\boldsymbol{K}$ в подвижных осях $(x, y, z)$ подчиняется векторному уравнению \[ \frac{d \boldsymbol{K}}{d t}+[\omega \boldsymbol{K}]=\left[\boldsymbol{r}_{0} \boldsymbol{P}\right] \] где $\omega-$ вектор мгновенной угловой скорости с проекциями $p, q, r$, при этом кинетич. момент $\boldsymbol{K}$ (при сделанных предположениях) записывается в следующем виде: \[ \boldsymbol{K}=A p \boldsymbol{i}+B q \boldsymbol{j}+C \boldsymbol{r} \boldsymbol{k} \] где постоянные $A, B, C$ - главные моменты инерции тела для точки $О$. Отсюда для составляющих по осям получаются следующие три основных уравнения, данные Л. Эйлером в 1765; они называются динамическими уравнениями Эйлера: \[ \left.\begin{array}{r} A \frac{d p}{d t}+(C-B) q r=M g\left(z_{0} \gamma^{\prime}-y_{0} \gamma^{\prime \prime}\right), \\ B \frac{d q}{d t}+(A-C) r p=M g\left(x_{0} \gamma^{\prime \prime}-z_{0} \gamma\right), \\ C \frac{d r}{d t}+(B-A) p q=M g\left(y_{0} \gamma-x_{0} \gamma^{\prime}\right) . \end{array}\right\} \] Далее, из того, что скорость единичного вектора $\boldsymbol{K}$ в неподвижной системе координат равна нулю, получают векторное уравнение \[ \frac{d \boldsymbol{K}}{d t}+[\omega \boldsymbol{K}]=0 \] проектируя это уравнение на подвижные оси, получают три скалярных уравнения \[ \left.\begin{array}{l} \frac{d \gamma}{d t}=r \gamma^{\prime}-q \gamma^{\prime \prime}, \\ \frac{d \gamma^{\prime}}{d t}=p \gamma^{\prime \prime}-r \gamma, \\ \frac{d \gamma^{\prime \prime}}{d t}=q \gamma-p \gamma^{\prime} ; \end{array}\right\} \] эти уравнения называются уравнениями Пуассона. Таким образом, получается замкнутая система шести нелинейных дифференциальных уравнений (I) и (II) относительно шести неизвестных $p, q, r, \gamma, \gamma^{\prime}, \gamma^{\prime \prime} ;$ они называются уравнениями Эйлера - Пуассона. Отметим, что в задаче о движении тяжелого Т.т. около неподвижной точки, кроме этих уравнений, используют и другие формы уравнений движения, получающиеся в иной системе координат и в других переменных (см., напр., [2]). Для полного интегрирования системы уравнений (I) и (II) достаточно найти шесть независимых интегралов. Из механич. соображений легко получаются два интеграла; еще один - из соображений геометрических. 1) Теорема живых сил: $A p^{2}+B q^{2}+C r^{2}+2 M g\left(x_{0} \gamma+y_{0} \gamma^{\prime}+z_{0} \gamma^{\prime \prime}\right)=C_{1}=$ const; (III) здесь $\frac{1}{2}\left(A p^{2}+B q^{2}+C r^{2}\right)=T-$ кинетич. энергия. 2) Момент тела относительно неподвижной оси $\bar{z}$: \[ A p \gamma+B q \gamma^{\prime}+C r \gamma^{\prime \prime}=C_{2}=\text { const. } \] 3) Тривиальный интеграл $(\boldsymbol{k}-$ орт): \[ \gamma^{2}+\gamma^{\prime 2} \gamma^{\prime \prime 2}=1 \text {. } \] Однако в силу особенностей уравнений (I) и (II) и первых интегралов достаточно найти не еще три первых интеграла, независимых от (III), (IV), (V), а только один, 4-й интеграл. Отсюда понятна важность нахождения 4-го интеграла уравнений движения тяжелого Т.т. около неподвижной точки; с решения этой задачи и начиналось большинство исследований. Оказалось, что 4-й однозначный интеграл существует только в двух классич. случаях: в случае Эйлера - Пуансо, в случае Лагранжа - Пуассона, а также в случае Ковалевской; этот возникший в связи с исследованиями С. В. Ковалевской принципиально важный вопрос: при каких условиях уравнения движения тяжелого Т.т. около неподвижной точки имеют добавочный интеграл, к-рый просто выражается (представляет собой алгебраич. функцию или однозначную функцию переменных), был поставлен и решен в исследованиях А. Пуанкаре (Н. Poincaré) и др. Дальнейшие исследования в этом направлении велись в изыскании частных случаев движения тяжелого Т.т. около неподвижной точки при условиях ограничения начальных данных, когда система уравнений движения допускает первый интеграл, отличный от трех классических. Ниже указывается несколько наиболее интересных частных случаев по этому поводу. 1) Случай Гесса - Аппельрота (см. [7], [8]). При условиях $y_{0}=0, x_{0} \sqrt{A(B-C)}+z_{0} \sqrt{C(A-B)}=0$ уравнения Эйлера - Пуассона (I)-(II) имеют частный интеграл \[ A x_{0} p+C z_{0} r=0 \] Этот интеграл существенно отличается от 4-го интеграла в классич. случаях, так как налагается добавочное условие на начальную скорость движения, в то время как в классич. случаях добавочные условия налагались только на распределение массы в теле. Этот случай представляет интерес потому, что он обобщает в нек-ром смысле все классич. случаи. 2) Случай Горячева - Чаплыгина (см. [9], [10]). Здесь предполагается, что $r_{0}=z_{0}=0, A=B=4 C$, то есть центр масс лежит в экваториальной плоскости. К трем основным интегралам (III) $-(\mathrm{V})$ в случае, когда $C_{2}=0$, то есть когда главный момент количества движения лежит в горизонтальной плоскости, существует еще один интеграл уравнений движения \[ r\left(p^{2}+q^{2}\right)-\frac{M g}{c} x_{0} p \gamma^{\prime \prime}=g . \] Этот случай интегрирования имеет ту особенность, что известен один из первых интегралов, не содержащий произвольной постоянной и по своему виду аналогичный классическим в общем случае, то есть алгебраический и не содержащий времени. 3) Случай Бобылева - Стеклова (см. [11], [12]). На этот раз предполагается, что $x_{0}=r_{0}=0, B=2 A$, то есть центр масс лежит на оси $О y$. Уравнения движения имеют частное решение \[ p=\frac{M g y_{0}}{A q} \gamma, \quad q=\text { const }, \quad r=0, \] с помощью к-рого уравнения (I)-(II) упрощаются, и дело сводится к обращению нек-рого эллиптич. интеграла 2-го рода.

«Задача об исследовании движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки является, наряду с другой классической задачей механики, так называемой задачей трех тел, одной из самых замечательных задач теоретической механики. Обе эти задачи замечательны тем, что являются непосредственным обобщением задач, решаемых до конца и притом весьма просто классическими средствами математического анализа, и обе они представляют столь большие трудности, что, несмотря на замечательные результаты, полученные при их решении крупнейшими математиками трех последних столетий, еще далеки от полного разрешения» (из введения к книге [1]). Первые результаты, касающиеся движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки, относятся к 50 гг. 18 в.; Л. Эйлер (L. Euler) вывел уравнения, носящие его имя, и отметил простейший случай, когда неподвижной точкой является центр тяжести тела; но только через 80 лет Л. Пуансо (L. Poinsot) дал геометрич. истолкование движения в случае, указанном Л. Эйлером (см. Эйлера - Пуансо случай). В это же время К. Якоби (C. Jacobi) дал полное интегрирование уравнений движения в случае Эйлера при помощи созданной им теории эллиптич. функций, а Ж. Лагранж (J. Lagrange) указал еще один частный случай решения этой задачи, к-рый затем был исследован С. Пуассоном (S. Poisson) (см. Лагранжа - Пуассона случай). После указанных работ долгое время никаких существенных результатов в этой области получено не было (хотя внимание математиков неоднократно обращалось на эту задачу и при Парижской академии наук была даже учреждена специальная премия, к-рая выдавалась за существенное продолжение теории). Решительный шаг вперед был сделан только в 1881 , когда в Парижскую академию наук был представлен мемуар С. В. Ковалевской, к-рым отмечен замечательный прогресс поставленной задачи (см. Ковалевской случай). Задача о движении тяжелого Т.т. около неподвижной точки представляет собой естественное обобщение задачи о качании маятника. Для описания этого движения обычно рассматривают неподвижную прямоугольную систему координат $(\bar{x}, \bar{y}, \bar{z})$, начало к-рой находится в неподвижной точке тела, причем ее ось $\bar{z}$ направлена вертикально вверх, и подвижную систему координат $(x, y, z)$ с тем же началом, неизменно связанную с телом и имеющую оси, направленные по главным осям инерции для неподвижной точки $O$. Далее обозначают: через $\boldsymbol{P}=-\boldsymbol{M g k}$ силу тяжести (направленную вертикально вниз и приложенную в центре тяжести $G$ тела); через $\boldsymbol{k}$ единичный орт, направленный по оси $\bar{z}$ с проекциями $\gamma, \gamma^{\prime}, \gamma^{\prime \prime}$ на оси подвижной системы координат; через $\boldsymbol{r}_{0}=x_{0} \boldsymbol{i}+y_{0} \boldsymbol{j}+z_{0} \boldsymbol{k}$ радиус-вектор центра тяжести $G$ с проекциями $x_{0}, y_{0}, z_{0}$ на оси подвижной системы координат. Тогда скорость изменения кинетич. момента $\boldsymbol{K}$ в подвижных осях $(x, y, z)$ подчиняется векторному уравнению \[ \frac{d \boldsymbol{K}}{d t}+[\omega \boldsymbol{K}]=\left[\boldsymbol{r}_{0} \boldsymbol{P}\right] \] где $\omega-$ вектор мгновенной угловой скорости с проекциями $p, q, r$, при этом кинетич. момент $\boldsymbol{K}$ (при сделанных предположениях) записывается в следующем виде: \[ \boldsymbol{K}=A p \boldsymbol{i}+B q \boldsymbol{j}+C \boldsymbol{r} \boldsymbol{k} \] где постоянные $A, B, C$ - главные моменты инерции тела для точки $О$. Отсюда для составляющих по осям получаются следующие три основных уравнения, данные Л. Эйлером в 1765; они называются динамическими уравнениями Эйлера: \[ \left.\begin{array}{r} A \frac{d p}{d t}+(C-B) q r=M g\left(z_{0} \gamma^{\prime}-y_{0} \gamma^{\prime \prime}\right), \\ B \frac{d q}{d t}+(A-C) r p=M g\left(x_{0} \gamma^{\prime \prime}-z_{0} \gamma\right), \\ C \frac{d r}{d t}+(B-A) p q=M g\left(y_{0} \gamma-x_{0} \gamma^{\prime}\right) . \end{array}\right\} \] Далее, из того, что скорость единичного вектора $\boldsymbol{K}$ в неподвижной системе координат равна нулю, получают векторное уравнение \[ \frac{d \boldsymbol{K}}{d t}+[\omega \boldsymbol{K}]=0 \] проектируя это уравнение на подвижные оси, получают три скалярных уравнения \[ \left.\begin{array}{l} \frac{d \gamma}{d t}=r \gamma^{\prime}-q \gamma^{\prime \prime}, \\ \frac{d \gamma^{\prime}}{d t}=p \gamma^{\prime \prime}-r \gamma, \\ \frac{d \gamma^{\prime \prime}}{d t}=q \gamma-p \gamma^{\prime} ; \end{array}\right\} \] эти уравнения называются уравнениями Пуассона. Таким образом, получается замкнутая система шести нелинейных дифференциальных уравнений (I) и (II) относительно шести неизвестных $p, q, r, \gamma, \gamma^{\prime}, \gamma^{\prime \prime} ;$ они называются уравнениями Эйлера - Пуассона. Отметим, что в задаче о движении тяжелого Т.т. около неподвижной точки, кроме этих уравнений, используют и другие формы уравнений движения, получающиеся в иной системе координат и в других переменных (см., напр., [2]). Для полного интегрирования системы уравнений (I) и (II) достаточно найти шесть независимых интегралов. Из механич. соображений легко получаются два интеграла; еще один - из соображений геометрических. 1) Теорема живых сил: $A p^{2}+B q^{2}+C r^{2}+2 M g\left(x_{0} \gamma+y_{0} \gamma^{\prime}+z_{0} \gamma^{\prime \prime}\right)=C_{1}=$ const; (III) здесь $\frac{1}{2}\left(A p^{2}+B q^{2}+C r^{2}\right)=T-$ кинетич. энергия. 2) Момент тела относительно неподвижной оси $\bar{z}$: \[ A p \gamma+B q \gamma^{\prime}+C r \gamma^{\prime \prime}=C_{2}=\text { const. } \] 3) Тривиальный интеграл $(\boldsymbol{k}-$ орт): \[ \gamma^{2}+\gamma^{\prime 2} \gamma^{\prime \prime 2}=1 \text {. } \] Однако в силу особенностей уравнений (I) и (II) и первых интегралов достаточно найти не еще три первых интеграла, независимых от (III), (IV), (V), а только один, 4-й интеграл. Отсюда понятна важность нахождения 4-го интеграла уравнений движения тяжелого Т.т. около неподвижной точки; с решения этой задачи и начиналось большинство исследований. Оказалось, что 4-й однозначный интеграл существует только в двух классич. случаях: в случае Эйлера - Пуансо, в случае Лагранжа - Пуассона, а также в случае Ковалевской; этот возникший в связи с исследованиями С. В. Ковалевской принципиально важный вопрос: при каких условиях уравнения движения тяжелого Т.т. около неподвижной точки имеют добавочный интеграл, к-рый просто выражается (представляет собой алгебраич. функцию или однозначную функцию переменных), был поставлен и решен в исследованиях А. Пуанкаре (Н. Poincaré) и др. Дальнейшие исследования в этом направлении велись в изыскании частных случаев движения тяжелого Т.т. около неподвижной точки при условиях ограничения начальных данных, когда система уравнений движения допускает первый интеграл, отличный от трех классических. Ниже указывается несколько наиболее интересных частных случаев по этому поводу. 1) Случай Гесса - Аппельрота (см. [7], [8]). При условиях $y_{0}=0, x_{0} \sqrt{A(B-C)}+z_{0} \sqrt{C(A-B)}=0$ уравнения Эйлера - Пуассона (I)-(II) имеют частный интеграл \[ A x_{0} p+C z_{0} r=0 \] Этот интеграл существенно отличается от 4-го интеграла в классич. случаях, так как налагается добавочное условие на начальную скорость движения, в то время как в классич. случаях добавочные условия налагались только на распределение массы в теле. Этот случай представляет интерес потому, что он обобщает в нек-ром смысле все классич. случаи. 2) Случай Горячева - Чаплыгина (см. [9], [10]). Здесь предполагается, что $r_{0}=z_{0}=0, A=B=4 C$, то есть центр масс лежит в экваториальной плоскости. К трем основным интегралам (III) $-(\mathrm{V})$ в случае, когда $C_{2}=0$, то есть когда главный момент количества движения лежит в горизонтальной плоскости, существует еще один интеграл уравнений движения \[ r\left(p^{2}+q^{2}\right)-\frac{M g}{c} x_{0} p \gamma^{\prime \prime}=g . \] Этот случай интегрирования имеет ту особенность, что известен один из первых интегралов, не содержащий произвольной постоянной и по своему виду аналогичный классическим в общем случае, то есть алгебраический и не содержащий времени. 3) Случай Бобылева - Стеклова (см. [11], [12]). На этот раз предполагается, что $x_{0}=r_{0}=0, B=2 A$, то есть центр масс лежит на оси $О y$. Уравнения движения имеют частное решение \[ p=\frac{M g y_{0}}{A q} \gamma, \quad q=\text { const }, \quad r=0, \] с помощью к-рого уравнения (I)-(II) упрощаются, и дело сводится к обращению нек-рого эллиптич. интеграла 2-го рода.