Бернулли блуждание

- случайное блуждание, порождаемое Бернулли испытаниями. На примере Б. б. можно пояснить нек-рые основные черты более общих случайных блужданий. В частности, уже в этой простейшей схеме проявляются свойства "случайности", парадоксальные с точки зрения интуиции. Б. б. можно описать, напр., в следующих терминах. Частица движется по оси х("блуждает") по решетке точек вида [img: http://localhost:8080/file/010205-285.jpg]. Движение начинается в момент [img: http://localhost:8080/file/010205-286.jpg], и положение частицы отмечается только в дискретные моменты времени [img: http://localhost:8080/file/010205-287.jpg] На каждом шаге координата частица увеличивается или уменьшается на величину hс вероятностями ри [img: http://localhost:8080/file/010205-288.jpg] соответственно, независимо от предшествующего движения. Таким образом, перемещения в положительном и отрицательном направлениях ("успехи" и "неудачи") описываются схемой испытаний Бернулли с вероятностью успеха, равной р. Обычно Б. б. изображают геометрически, беря ось t за ось абсцисс, а ось х - за ось ординат (см. рис. 1; где показан начальный участок графика движения частицы, начинающей блуждание из нуля). Пусть [img: http://localhost:8080/file/010205-289.jpg] - случайная величина, равная перемещению частицы на j- м шаге. Тогда [img: http://localhost:8080/file/010205-290.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010205-291.jpg] образуют последовательность независимых случайных величин. Координата блуждающей частицы в момент [img: http://localhost:8080/file/010205-292.jpg] равна сумме [img: http://localhost:8080/file/010205-293.jpg] Поэтому график Б. б. дает также наглядное представление о поведении нарастающих сумм случайных величин, причем многие характерные черты флуктуаций сохраняются и для сумм значительно более общих случайных величин. Этот график показывает также изменения капитала одного из игроков в классич. задаче о разорении (именно в связи с этой задачей были найдены формулы для вероятностей многих событий в Б. б.). [img: http://localhost:8080/file/010205-294.jpg] В физике Б. б. используют для грубого описания одномерных процессов диффузии (см. Диффузионный процесс).и броуновского движения материальных частиц под действием ударов молекул. Из важнейших фактов, связанных с Б. б., можно отметить следующие (при этом ниже, если не оговорено противное, принято допущение [img: http://localhost:8080/file/010205-295.jpg]). Вероятности возвращения. Пусть блуждание начинается из нуля. Тогда вероятность хотя бы одного возвращения в нуль равна [img: http://localhost:8080/file/010205-296.jpg], т. е. равна единице в симметричном случае [img: http://localhost:8080/file/010205-297.jpg] и меньше единицы при [img: http://localhost:8080/file/010205-298.jpg]. В симметричном случае величины [img: http://localhost:8080/file/010205-299.jpg] (время до первого возвращения в нуль) и [img: http://localhost:8080/file/010205-300.jpg] (время между первым и вторым возвращениями) и т. д. суть независимые случайные величины с бесконечным математич. ожиданием. Время до [img: http://localhost:8080/file/010205-301.jpg] -го возвращения, т. е. сумма [img: http://localhost:8080/file/010205-302.jpg] растет как [img: http://localhost:8080/file/010205-303.jpg], а среднее число N2n возвращений за 2n шагов задается формулой [img: http://localhost:8080/file/010205-304.jpg] и растет как [img: http://localhost:8080/file/010205-305.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010205-306.jpg] Отсюда вытекает парадоксальное следствие: в симметричном Б. б. "волны" на графике между последовательными возвращениями в нуль оказываются поразительно длинными (рис. 2). С этим связано и другое обстоятельство, а именно, что для [img: http://localhost:8080/file/010205-307.jpg] (доли времени, когда график находится выше оси абсцисс) наименее вероятными оказываются значения, близкие к [img: http://localhost:8080/file/010205-308.jpg] Точнее, справедливо следующее утверждение: при [img: http://localhost:8080/file/010205-309.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010205-310.jpg] для вероятности [img: http://localhost:8080/file/010205-311.jpg] равенства [img: http://localhost:8080/file/010205-312.jpg] имеет место [img: http://localhost:8080/file/010205-313.jpg] формула: где [img: http://localhost:8080/file/010205-314.jpg]. Следствием является так наз. закон арксинуса: при каждом [img: http://localhost:8080/file/010205-315.jpg] вероятность неравенства [img: http://localhost:8080/file/010205-316.jpg] стремится к [img: http://localhost:8080/file/010205-317.jpg] Опираясь на этот факт, можно показать, что при [img: http://localhost:8080/file/010205-318.jpg] шагов частица остается на положительной стороне более чем [img: http://localhost:8080/file/010205-319.jpg] моментов времени с вероятностью [img: http://localhost:8080/file/010205-320.jpg] т. е., грубо говоря, подобное положение будет наблюдаться не реже, чем в одном случае из десяти (хотя на первый взгляд оно кажется абсурдным). Максимальное отклонение. При [img: http://localhost:8080/file/010205-321.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/010205-322.jpg] блуждающая частица уходит с вероятностью единица в [img: http://localhost:8080/file/010205-323.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/010205-324.jpg]. Поэтому, напр., при [img: http://localhost:8080/file/010205-325.jpg] определена случайная величина [img: http://localhost:8080/file/010205-326.jpg] и вероятность того, что [img: http://localhost:8080/file/010205-327.jpg], равна [img: http://localhost:8080/file/010205-328.jpg] Бернулли блуждание с границами. Часто рассматривают Б. б. при наличии поглощающих пли отражающих экранов. Пусть, напр., блуждание начинается из нуля. Наличие в точке апоглощающего экрана проявляется в том, что по достижении этой точки частица перестает двигаться. При наличии в точке [img: http://localhost:8080/file/010205-329.jpg] отражающего экрана частица с вероятностью qпереходит из [img: http://localhost:8080/file/010205-330.jpg] и с вероятностью ростается на месте. Основным средством вычисления вероятностей поглощения и вероятностей достижения тех или иных точек служат развостные 1 уравнения. Пусть, напр., поглощающий экран стоит в точке [img: http://localhost:8080/file/010205-332.jpg]. Если [img: http://localhost:8080/file/010205-333.jpg] есть вероятность того, что частица, находящаяся в точке [img: http://localhost:8080/file/010205-334.jpg] в момент времени [img: http://localhost:8080/file/010205-335.jpg], поглотится до момента [img: http://localhost:8080/file/010205-336.jpg] (включительно), то имеет место уравнение: [img: http://localhost:8080/file/010205-337.jpg] со следующими очевидными граничными условиями: [img: http://localhost:8080/file/010205-338.jpg] Решение этой задачи при [img: http://localhost:8080/file/010205-339.jpg] было известно А. Муавру (A.'Moivre) и П. Лапласу (P. Laplace). Формула Лапласа имеет вид: [img: http://localhost:8080/file/010205-340.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010205-331.jpg] Переход к процессам диффузии. Пусть, напр., [img: http://localhost:8080/file/010205-341.jpg] Тогда при [img: http://localhost:8080/file/010205-342.jpg] многие вероятности, вычисленные для схемы Б. б., стремятся к пределам, равным аналогичным вероятностям для броуновского движения. Пусть речь.идет о вероятности того, что частица, вышедшая из нуля, поглотится экраном, стоящим в точке [img: http://localhost:8080/file/010206-1.jpg], до момента [img: http://localhost:8080/file/010206-2.jpg] Предельным переходом из формулы (*) при [img: http://localhost:8080/file/010206-3.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010206-4.jpg] получается величина [img: http://localhost:8080/file/010206-5.jpg] равная вероятности того, что координата [img: http://localhost:8080/file/010206-6.jpg] частицы, совершающей броуновское движение, удовлетворяет неравенству: [img: http://localhost:8080/file/010206-7.jpg] т. е. вероятности того, что частица поглотится на барьере - [img: http://localhost:8080/file/010206-8.jpg]. Для более или менее полного описания всех подобных предельных соотношений уместно встать на общую точку зрения и рассмотреть переход от дискретного процесса "нарастающих сумм" к непрерывному случайному процессу (см.. Предельные теоремы). На схеме Б. б. можно весьма наглядно пояснить такие закономерности поведения сумм случайных величин, как больших чисел усиленный закон и повторного логарифма закон.