Бернулли ОДУ

Абеля ОДУ первого и второго рода $$y^{\text{'}}=f_3\left(x\right)y^3+f_2\left(x\right)y^2+f_1\left(x\right)y+f_0\left(x\right),$$ $$\left[g_1\left(x\right)y+g_0\left(x\right)\right]y^{\text{'}}=f_2\left(x\right)y^2+f_1\left(x\right)y+f_0\left(x\right),$$ где $f_i\left(i=0,1,2,3\right)$ — непрерывные функции на рассматриваемом интервале, например в случае $f_3=f_0=g_1=0$ и $g_0=1,$ являются Бернулли ОДУ (1) при $?=2.$ <br/> <br/> <p> $1^{?}.$ Положим $y^{1-?}=u\left(x\right),$ где $u$ — новая неизвестная функция. Имеем $$\frac{1}{1-?}{u}^{\text{'}}+p\left(x\right)u=q\left(x\right),u^{\text{'}}+\left(1-?\right)p\left(x\right)u=\left(1-?\right)q\left(x\right).$$ Интегрируя полученное линейное ОДУ и возвращаясь к переменной $y,$ получаем общее решение Бернулли ОДУ (2). Использованное выше преобразование содержит деление на переменную $y^{?},$ что обычно приводит к необходимости специального рассмотрения случая $y=0.$ <br/> Если $?>1,$ то $y=0$ — частное решение ОДУ (1), поскольку содержится в общем решении (2) при $C=.$ <br/> При $??0$ функция $y=0$ не является решением ОДУ (1). <br/> Если $0<?<1,$ то функция $y=0$ не содержится в формуле общего решения (2), т. е. не есть частное решение, но является решением ОДУ (1). <br/> <p> $2^{?}.$ Подстановка Бернулли вида $y=u\left(x\right)?v\left(x\right)$ при определенном выборе, например, функции $v\left(x\right),$ приводит к интегрированию двух уравнений: $$\left.r{v}^{\text{'}}+p\left(x\right)v=0;v?u^{\text{'}}=q\left(x\right){\left[u?v\right]}^{?}\right\},$$ где во втором уравнении под $v=v\left(x\right)$ подразумевается решение первого уравнения. <br/> <p> $3^{?}.$ Дарбу ОДУ первого порядка $$M\left(x,y\right)dx+N\left(x,y\right)dy+P\left(x,y\right)\left(x?dy-ydx\right)=0$$ подстановкой $y=ux$ приводится к ОДУ вида $$\frac{dx}{du}+\frac{N\left(1,u\right)}{M\left(1,u\right)+N\left(1,u\right)u}x=-\frac{P\left(1,u\right)}{M\left(1,u\right)+N\left(1,u\right)u}{x}^{l+2-k}.$$ Получили Бернулли ОДУ с искомой функцией $x$ от переменной $u.$ Здесь $M$ и $N$ — однородные функции степени $k,$ $P$ — однородная функция степени $l.$ Полагают $l?k-1,$ $l?k-2$ (см. <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325024">Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Учебное пособие. Изд. 5-е, дополн.(c. 73-74)</a> ). Отметим, что при $l=\left(k-2\right)$ имеем ОДУ первого порядка линейное неоднородное, а при $l=\left(k-1\right)$ — однородное. <br/> <p> $4^{?}.$ Риккати ОДУ общее $$y^{\text{'}}+p\left(x\right)y+q\left(x\right)y^2=f\left(x\right)$$ преобразуется в Бернулли ОДУ (1) для случая $?=2,$ если положить $y=y_1+z,$ где $y_1=y_1\left(x\right)$ — частное решение данного уравнения Риккати, $z=z\left(x\right)$ — новая функция от $x.$ <br/> Очевидно, что при $f\left(x\right)=0$ имеем Бернулли ОДУ для случая $?=2.$ <br/> <p> $5^{?}.$ Если в ОДУ (1) имеет место равенство $$q\left(x\right)?b?p\left(x\right),b=,x?\left(a,b\right),$$ т. е. функции $p$ и $q$ линейно зависимы, то получаем $$y^{\text{'}}+p\left(x\right)y\left(1-b{y}^{?-1}\right)=0.\left(3\right)$$ Если, например, $?>1,$ то $y=0$ — решение уравнения (3). Для дальнейшего проводится анализ выражения $A\left(y\right)=y\left(1-b{y}^{?-1}\right)$ и рассматривается уравнение $y^{\text{'}}+p\left(x\right)?A\left(y\right)=0$ (см. <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325008">Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями.(c. 30-31)</a> , 23—24). <br/> <p> $6^{?}.$ О Бернулли матричном уравнении как частном случае Риккати матричного уравнения общего (см. <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325009">Уравнения Риккати.(c. 139-140)</a> ). <br/> <b> Замечание </b> . <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"/> ОДУ (1) предложено Я. Бернулли (1695 г.). О других свойствах уравнения (1) и смежных вопросах см. приведенную литературу. <br/>