Бернулли испытания

независимые испытания с двумя исходами каждое ("успехом" и "неудачей") и такие, что вероятности исходов не изменяются от испытания к испытанию. Б. и. служат одной из основных схем, рассматриваемых в теории вероятностей. Пусть р - вероятность успеха и [img: http://localhost:8080/file/010206-19.jpg] - вероятность неудачи, и пусть 1 обозначает наступление успеха, а 0 - наступление неудачи. Тогда вероятность определенного чередования успехов и неудач, напр., [img: http://localhost:8080/file/010206-20.jpg] равна [img: http://localhost:8080/file/010206-21.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010206-22.jpg] - число успехов в рассматриваемом ряду писпытаний. Со схемой Б. и. связаны многие распространенные распределения вероятностей. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010206-23.jpg] - случайная величина, равная числу успехов в пБ. и. Тогда вероятность события [img: http://localhost:8080/file/010206-24.jpg] равна [img: http://localhost:8080/file/010206-25.jpg] т. е. [img: http://localhost:8080/file/010206-26.jpg] имеет биномиальное распределение. Последнее при [img: http://localhost:8080/file/010206-27.jpg] аппроксимируется нормальным распределением или Пуассона распределением. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010206-28.jpg] - число испытаний до первого успеха. Тогда вероятность события [img: http://localhost:8080/file/010206-29.jpg] равна [img: http://localhost:8080/file/010206-30.jpg] т. е. [img: http://localhost:8080/file/010206-31.jpg] имеет геометрическое распределение. Если [img: http://localhost:8080/file/010206-32.jpg] - число неудач, предшествующих r-му появлению успеха, то [img: http://localhost:8080/file/010206-33.jpg] имеет так наз. отрицательное биномиальное распределение. Число успехов [img: http://localhost:8080/file/010206-34.jpg] в Б. и. можно представить в виде суммы [img: http://localhost:8080/file/010206-35.jpg] независимых случайных величин, где [img: http://localhost:8080/file/010206-36.jpg] равно 1, если [img: http://localhost:8080/file/010206-37.jpg] испытание закончилось успехом, и равно 0 в противном случае. Поэтому многие важные закономерности теории вероятностей, относящиеся к суммам независимых случайных величин, были первоначально установлены для схемы Б. и. (Бернулли теорема, больших чисел закон, больших чисел усиленный закон, повторного логарифма закон, Центральная предельная теорема и т. д.). Строгое изучение бесконечных последовательностей Б. и. требует введения вероятностной меры, в пространстве бесконечных последовательностей нулей и единиц. Это можно сделать или непосредственно, или с помощью приема, к-рый иллюстрируется ниже случаем [img: http://localhost:8080/file/010206-38.jpg]. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010206-39.jpg] - число, выбираемое наудачу на отрезке [img: http://localhost:8080/file/010206-40.jpg] с равномерным распределением, и пусть [img: http://localhost:8080/file/010206-41.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010206-42.jpg] или 1, есть разложение со в двоичную дробь. Тогда [img: http://localhost:8080/file/010206-43.jpg] независимы и принимают значения 0 и 1 с вероятностью [img: http://localhost:8080/file/010206-44.jpg] каждое, т. е. чередование нулей и единиц в двоичном разложении w описывается схемой Б. и. с [img: http://localhost:8080/file/010206-45.jpg] Однако меру на (0, 1) можно задать и так, чтобы получить Б. и. с любым р (при [img: http://localhost:8080/file/010206-46.jpg] получается мера, сингулярная относительно меры Лебега). Б. и. часто трактуют геометрически (см. Бернулли блуждание). Ряд вероятностей, связанных с Б. и., был вычислен на самой ранней ступени развития теории вероятностей в связи с задачей о разорении игроков.