Бернулли теорема

исторически первая форма больших чисел закона. Б. т. приведена в четвертой части книги Я. Бернулли (J. Bernoulli) "Ars conjeсtandi" ("Искусство предположений"). Эту часть можно считать первым серьезным трудом по теории вероятностей. Книга издана в 1713 Н. Бернулли (племянником Я. Бернулли). Б. т. относится к последовательности независимых испытаний (см. Бернулли испытания), в каждом из к-рых вероятность появления нек-рого события (успеха) равна р. Пусть п - число испытаний и т - случайная величина, равная числу успехов. Б. т. утверждает, что каковы бы ни были положительные числа [img: http://localhost:8080/file/010206-84.jpg] при всех достаточно больших вероятность Рнеравенства [img: http://localhost:8080/file/010206-85.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010206-86.jpg] будет больше [img: http://localhost:8080/file/010206-87.jpg]. Доказательство этой теоремы, данное Я. Бернулли (и основанное только на изучении характера убывания вероятностей в биномиальном распределении по мере удаления от наивероятнейшего значения), сопровождалось неравенством, позволяющим указать нек-рую границу для указанного [img: http://localhost:8080/file/010206-88.jpg] по данным [img: http://localhost:8080/file/010206-89.jpg]. Напр., Я. Бернулли находит, что при [img: http://localhost:8080/file/010206-90.jpg] вероятность неравенства [img: http://localhost:8080/file/010206-91.jpg] будет больше [img: http://localhost:8080/file/010206-92.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/010206-93.jpg] Несколько совершенствуя первоначальное рассуждение Я. Бернулли, можно установить, что пдостаточно выбирать с условием [img: http://localhost:8080/file/010206-94.jpg] что дает, в свою очередь, для вероятности [img: http://localhost:8080/file/010206-95.jpg] неравенства [img: http://localhost:8080/file/010206-96.jpg] оценку вида [img: http://localhost:8080/file/010206-97.jpg] Для приведенного выше примера получается условие [img: http://localhost:8080/file/010206-98.jpg] (более сложные оценки показывают, что достаточно брать [img: http://localhost:8080/file/010206-99.jpg] для сравнения заметим, что теорема Муавра - Лапласа в качестве приближенного значения п 0 дает 6 498). Другие оценки для [img: http://localhost:8080/file/010206-100.jpg] можно получить, используя Бернштейна неравенство п его аналоги (см. также Биномиальное распределение).