Вейерштрасса теорема

- 1) В. т. о бесконечном про и введении [1]: для любой наперед заданной последовательности точек плоскости [img: http://localhost:8080/file/010305-96.jpg] комплексного переменного [img: http://localhost:8080/file/010305-97.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010305-98.jpg] существует целая функция, имеющая нулями точки [img: http://localhost:8080/file/010305-99.jpg] этой последовательности и только пх. Эта функция может быть построена в виде канонического произведения [img: http://localhost:8080/file/010305-100.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010305-101.jpg] - кратность нуля в последовательности (1), а [img: http://localhost:8080/file/010305-102.jpg] Множители [img: http://localhost:8080/file/010305-103.jpg] наз. первичными, или примарными, множителями Вейерштрасса. Показатели [img: http://localhost:8080/file/010305-104.jpg] в них выбираются так, чтобы обеспечить сходимость произведения (2), напр., выбор [img: http://localhost:8080/file/010305-105.jpg] обеспечивает сходимость (2) для любой последовательности вида (1). Из этой теоремы вытекает также, что любая целая функция [img: http://localhost:8080/file/010305-106.jpg] с нулями (1) имеет вид [img: http://localhost:8080/file/010305-107.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010305-108.jpg] - канонич. произведение (2), а [img: http://localhost:8080/file/010305-109.jpg] - нек-рая целая функция (см. также Адамара теорема о целых функциях). В. т. о бесконечном произведении обобщается на случай произвольной области [img: http://localhost:8080/file/010305-110.jpg]: какова бы ни была последовательность точек [img: http://localhost:8080/file/010305-111.jpg], не имеющая предельных точек в D, существует голоморфная в Dфункция [img: http://localhost:8080/file/010305-112.jpg], имеющая нули в точках [img: http://localhost:8080/file/010305-113.jpg] и только в них. Утверждение теоремы в части, касающейся существования целой функции с произвольно заданными нулями, обобщается следующим образом на функции многих комплексных переменных; пусть каждой точке [img: http://localhost:8080/file/010305-114.jpg] комплексного пространства [img: http://localhost:8080/file/010305-115.jpg] поставлена в соответствие нек-рая ее окрестность [img: http://localhost:8080/file/010305-116.jpg] п голоморфная в [img: http://localhost:8080/file/010305-117.jpg] функция [img: http://localhost:8080/file/010305-118.jpg]. При этом, если пересечение [img: http://localhost:8080/file/010305-119.jpg] окрестностей точек [img: http://localhost:8080/file/010305-120.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010305-121.jpg] не пусто, то отношение [img: http://localhost:8080/file/010305-122.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/010305-123.jpg] есть голоморфная функция. При этих условиях существует целая функция [img: http://localhost:8080/file/010305-124.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/010305-125.jpg] такая, что отношение [img: http://localhost:8080/file/010305-126.jpg] есть голоморфная функция в любой точке [img: http://localhost:8080/file/010305-127.jpg]. Это утверждение известно как вторая теорема Кузена (см. также Кузена проблемы).