Лежандра преобразование

1) Преобразование математич. анализа, осуществляющее двойственность между объектами в дуальных пространствах (наряду с проективной двойственностью в аналитич. еометрии и полярной двойственностью в выпуклой геометрии). Пусть [img: http://localhost:8080/file/031306-144.jpg] - гладкая функция, рассматриваемая на открытом множестве Анормированного пространства Xи обладающая тем свойством, что отображение [img: http://localhost:8080/file/031306-145.jpg] (здесь f'(х) - Фреше производная f) взаимно однозначно отображает Ана множество [img: http://localhost:8080/file/031306-146.jpg] Тогда Л. п. f - это функция на В, определенная формулой [img: http://localhost:8080/file/031306-147.jpg] В случае, если f - функция на [img: http://localhost:8080/file/031306-148.jpg] и при этом определитель det [img: http://localhost:8080/file/031306-149.jpg] отличен от нуля в области А, Л. п. задается формулами [img: http://localhost:8080/file/031306-150.jpg] здесь [img: http://localhost:8080/file/031306-151.jpg] Преобразование [img: http://localhost:8080/file/031306-152.jpg] встречается еще у Г. Лейбница (G. Leibnitz), в общем виде определено А. Лежандром (A. Legendre, 1789), хотя ранее рассматривалось также Л. Эйлером (L. Euler, 1776). В случае, если f - конечномерная функция, являющаяся гладкой, строго выпуклой и растущей на бесконечности быстрее линейной функции, то Л. п. можно определить так: [img: http://localhost:8080/file/031306-153.jpg] Выражение (2) с заменой шах на sup было положено (см. [2]) в основу теории двойственности выпуклых функций (см. Сопряженная функция).Примеры. Л. п. функции [img: http://localhost:8080/file/031306-154.jpg] одного переменного будет функция [img: http://localhost:8080/file/031306-155.jpg] Л. п. функции (х, х)/2 в гильбертовом пространстве Xсо скалярным произведением (Х, Х) будет функция (y, y)/2. Л. п., основанное на замене переменных [img: http://localhost:8080/file/031306-156.jpg] является частным случаем прикосновения преобразования;сущность Л. п. заключается в возможности двойственного описания поверхности в пространстве - как множества точек (х, f(x)).и как огибающей семейства ее касательных плоскостей, задаваемых парой [img: http://localhost:8080/file/031306-157.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031306-158.jpg] состоящей из линейного функционала х* и аффинной касательной функции [img: http://localhost:8080/file/031306-159.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031306-160.jpg] Л. п. играет важную роль в анализе, особенно в выпуклом анализе (см. [1], [2], [4]), в теории дифференциальных уравнений, в вариационном исчислении (см. [6]), в классич. механике, термодинамике, теории упругости и других разделах математич. физики. Так, применение Л. п. к решению удифференциального уравнения F(x, у, y')=0 переводит его в решение Yуравнения F(Y, XY'-Y, X), где Х=у' (х), Y (Х)= у*(X), к-рое иногда интегрируется проще исходного. Применение Л. п. к лагранжиану задачи классического вариационного исчисления переводит его в Гамильтона функцию. При этом система уравнений Эйлера (в вариационном исчислении) и уравнения Лагранжа (в классич. механике) переходят в эквивалентную систему канонич. уравнений. В термодинамике Л. п. осуществляет переход от одних функций состояния к другим, напр. от удельного объема и энтропии к температуре. и давлению.