Лежандра преобразование $(F(x, x y'-y, y')=0)$

<a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325024">Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Учебное пособие. Изд. 5-е, дополн.(c. 136-139)</a> ; <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325016">Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Пер. с немецк. С.В.Фомина. Изд. 2-е, перераб. и дополн.(c. 56-56)</a> ; <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325039">Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.1.(c. 555-556)</a> ; <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325091">Элементы численного анализа и математической обработки результатов опыта. Изд. 2-е, перераб. (с.234-236)</a> ; <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325050">Курс математического анализа. Т.1. Производные и дифференциалы. Определенные интегралы. Разложения в ряды. Геометрические приложения. Пер. с франц. проф. А.И.Некрасова / Под ред. Б.К.Млодзеевского. Вновь просм. и перераб. по пятому франц. изд. проф. В.В.Степановым. Изд. 3-е.(c. 131-133)</a> . <br/> О преобразовании (1) см. в цитированной литературе. <br/> <p> $1^{?}.$ Пусть дано ОДУ: $F\left(x,y,y^{\text{'}}\right)=0.$ На основании (1) получаем: $$F\left(x,y,y^{\text{'}}\right)=0\text{x}F(\frac{dY}{dX},X?\frac{dY}{dX}-Y,X=0;$$ зная решение одного уравнения, можно получить решение другого уравнения. <br/> <p> $2^{?}.$ <b> Пример </b> . $$ ( Н. М. Матвеев, с. 138)
Пусть $$2y\left(y^{\text{'}}+2\right)-x{y}^{?1pt2}=0\left(2\right)$$ — Лагранжа ОДУ, к которому применяется Лежандра преобразование (см. (1)). Уравнение (2) переходит в следующее уравнение: $$\left(X^2+4X\right)\frac{dY}{dX}-\left(2X+4\right)Y=0.\left(3\right)$$ Получили уравнение с разделяющимися переменными (см. (3)). Общее решение уравнения (2) в параметрической форме: $$x=2C_1\left(X+2\right),y=C_1?X^{2.}\left(4\right)$$ Исключая параметр $X$ (см. (4)), получаем общее решение в виде: $$y=\frac{{\left(x-C\right)}^2}{C},$$ где $C=4C_{1.}$ <br/> Из уравнения $X^2+4X=0$ следует: $X=0$ и $X=-4,$ что дает $y=0$ и $y=-4x$ — особые решения уравнения (2). <br/>