Линейная система

- семейство эффективных линейно эквивалентных дивизоров на алгебраич. многообразии, параметризованное проективным пространством. Пусть X - неособое алгебраич. многообразие над полем k, [img: http://localhost:8080/file/031315-6.jpg] - обратимый пучок на X, Г (X, [img: http://localhost:8080/file/031315-7.jpg]) - пространство глобальных сечений пучка [img: http://localhost:8080/file/031315-8.jpg] а [img: http://localhost:8080/file/031315-9.jpg] - некоторое конечномерное подпространство. Если dimL>0, то дивизоры, определяемые нулями сечений из L, линейно эквивалентны и эффективны. Линейной системой наз. проективное пространство [img: http://localhost:8080/file/031315-10.jpg] одномерных подпространств в L, параметризующее эти дивизоры. Если [img: http://localhost:8080/file/031315-11.jpg] то Л. с. [img: http://localhost:8080/file/031315-12.jpg] наз. полной; она обозначается также |L|. Пусть s0,..., sn - базис в L. Он определяет рациональное отображение [img: http://localhost:8080/file/031315-13.jpg] по формуле [img: http://localhost:8080/file/031315-14.jpg] Обычно говорят, что [img: http://localhost:8080/file/031315-15.jpg] задано Л. с. |L|. Образ [img: http://localhost:8080/file/031315-16.jpg] не лежит ни в какой гиперплоскости в Р п (см. [2]). Обратно, каждое рациональное отображение [img: http://localhost:8080/file/031315-17.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031315-18.jpg] обладающее этим свойством, задается нек-рой Л. с. Неподвижной компонентой Л. с. |L| наз. такой эффективный дивизор D* на X, что D=D+D* для любого [img: http://localhost:8080/file/031315-19.jpg] где D' - эффективный дивизор. Когда Dпробегает Л. с. |L|, дивизоры D' образуют нек-рую Л. с. |L'| той же размерности, что и Л. с. |L|. Отображение [img: http://localhost:8080/file/031315-20.jpg] совпадает с [img: http://localhost:8080/file/031315-21.jpg] Поэтому при рассмотрении отображения [img: http://localhost:8080/file/031315-22.jpg] можно предполагать, что Л. с. |L| не имеет неподвижных компонент. В этом случае jL не определено в точности на базисном множестве Л. с. |L|. Примеры. 1) Пусть Х=Р 2 и [img: http://localhost:8080/file/031315-23.jpg] тогда сечения [img: http://localhost:8080/file/031315-24.jpg]) отождествляются с формами степени dна Р 2, а полная Л. с. [img: http://localhost:8080/file/031315-25.jpg] - с множеством всех кривых степени d. 2) Стандартное квадратичное преобразование т: [img: http://localhost:8080/file/031315-26.jpg] (см. Кремоново преобразование).задается Л. с. коник, проходящих через точки (О, О, 1), (О, 1, 0), (1, 0, 0). 3) Инволюция Гейзера [img: http://localhost:8080/file/031315-27.jpg] задается Л. с. кривых степени 8, проходящих с кратностью 3 через 7 точек в общем положении. 4) Инволюция Бертини [img: http://localhost:8080/file/031315-28.jpg] задается Л. с. кривых степени 17, проходящих с кратностью 6 через 8 точек в общем положении.