Точка покоя системы двух линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами

$1^{?}.$ Рассматривается система уравнений $$\frac{dx}{dt}=Q\left(x,y\right),\frac{dy}{dt}=P\left(x,y\right),\left(1\right)$$ и соответствующая ей ОДУ $$\frac{dy}{dx}=\frac{P\left(x,y\right)}{Q\left(x,y\right)},\left(2\right)$$ где функции $P$ и $Q$ определены на некотором открытом/замкнутом множестве $?$ пространства (плоскости) размерности $n=2;$ координатами точки являются переменные $x,y.$ <br/> Считают функции $P$ и $Q,$ их частные производные первого порядка непрерывными на $?.$ <br/> <b> Определение </b> 1. $$ ( Л . С . Понтрягин , с. 103.)
Нормальная система ОДУ называется автономной, если в нее явно не входит независимое переменное (трактуемое, например как время): система (1) является автономной системой.
Замечание 1. $$ ( А . В . Боровских , А . И . Перов , с. 269—271.)
Решение системы (1) геометрически можно изобразить кривой в трехмерном пространстве $\left(t,x,y\right),$ определяемой соотношениями $$\{lx=x\left(t\right),\left[1.0mm\right]y=y\left(t\right),\left(3\right)$$ представляющими график решения. <br/> С другой стороны, соотношения (3) можно интерпретировать как закон движения точки $\left(x,y\right)$ на плоскости, а тогда траектория движения точки на плоскости рассматривается как проекция графика в пространстве $\left(t,x,y\right)$ на плоскость $xy.$ <br/> <b> Пример </b> 1. $$ ( Л . С . Понтрягин , с. 115.)
Дана автономная система $$\frac{dx}{dt}=-?y,\frac{dy}{dt}=?x,$$ где $?$ — некоторая константа. <br/> Решение системы: $$x=r?\cos \left(?t+?\right),y=r?\sin \left(?t+?\right),\left(4\right)$$ где $r$ и $?$ — константы. <br/> Решение (4) определяет в трехмерном пространстве $\left(t,x,y\right)$ винтовую спираль при $r?0.$ На плоскости $xy$ переменных $\left(x,y\right)$ выражение (4) определяет окружность $\left(r?0\right)$ и точку $\left(r=0\right).$ <br/> <br/> Переход от кривых в пространстве $\left(t,x,y\right)$ к кривым на плоскости $xy$ осуществля- ется проектированием по оси $t$ на координатную плоскость $xy.$ <br/> <b> Замечание </b> 2. $$ ( Л . С . Понтрягин , с. 108—110.)
Пусть $\left(x,y\right)??.$ Точке $\left(x,y\right)$ ставятся в соответствие числа $P\left(x,y\right),$ $Q\left(x,y\right),$ которые рассматриваются как компоненты вектора $W\left(x,y\right),$ т. е. автономной системе ставится в соответствие векторное поле, заданное на множестве определения системы (1). <br/> <b> Определение </b> 2. $$ ( Л . С . Понтрягин , с. 108—109.)
Пространство, в котором интерпретируются решения автономной системы в виде траекторий, а сама автономная система — в виде векторного поля, называется фазовым пространством (см. (1) и (3)). Траектории называются фазовыми траекториями, векторы $W\left(x,y\right)$ — фазовыми скоростями, а плоскость $xy$ — фазовой плоскостью и переменные $x$ и $y$ называют фазовыми переменными. <br/> <b> Определение </b> 3. $$ ( А . В . Боровских , А . И . Перов , с. 269—271.)
Совокупность фазовых траекторий называют фазовым портретом системы. Практи- —
Далее, ( Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Учебное пособие. Изд. 5-е, дополн.(c. 149-154) ).
В случае нормальной системы ОДУ вида $$\frac{dx}{dt}=Q\left(t,x,y\right),\frac{dy}{dt}=P\left(t,x,y\right)$$ в заданной точке $\left(x_0,y_0\right)$ на фазовой плоскости $xy$ скорость движения может меняться с течением времени $t$ : $$\frac{dx}{dt}=Q\left(t,x_0,y_0\right),\frac{dy}{dt}=P\left(t,x_0,y_0\right).$$ <br/> Для автономной системы (1), в правые части которой время $t$ явно не входит и рассматривается как параметр, в заданной точке $x_0=x\left(t_0\right),$ $t_0=y\left(t_0\right)$ скорость постоянная, т. е. с течением времени не изменяется. <br/> <b> Определение </b> 4. $$ ( Л . С . Понтрягин , с. 105—106.)
Пусть для всех допустимых значений $t$ имеют место равенства (см. (3)): $$x\left(t\right)=x_0,y\left(t\right)=y_0,$$ где точка $\left(x_0,y_0\right)??$ и не зависит от времени $t$ : точка $\left(x\left(t\right),y\left(t\right)\right)$ не движется при изменении $t,$ а «стоит на месте». В этом случае само решение (3) и точка $\left(x_0,y_0\right)$ называются положением равновесия системы (1). <br/> <b> Замечание </b> 3. $$ ( Н . М . Матвеев , с. 315—317.)
Пусть $\left(x_0,y_0\right)$ — особая точка типа $0/0$ для ОДУ (2), т. е. $$P\left(x_0,y_0\right)=Q\left(x_0,y_0\right)=0.\left(5\right)$$ Рассмотрение системы (1) и ОДУ (2) связано с тем, что система (1) равносильна ОДУ (2) в следующем смысле: каждая интегральная кривая ОДУ (2) является траекторией системы (1) на фазовой плоскости $xy.$ Обратно: каждая траектория системы (1) на фазовой плоскости $xy,$ отличная от точки $x=x_0,$ $y=y_0,$ есть интегральная кривая ОДУ (2). <br/> Из равенств (5) следует, что система (1) имеет решение $$x?x_0,y?y_{0.}\left(6\right)$$ Такая точка, т. е. $\left(x_0,y_0\right),$ называется точкой равновесия (покоя) системы (1). <br/> Отметим, что через точку равновесия $\left(x_0,y_0\right)$ системы (1), помимо движения (6), представляющего собою состояние равновесия (покоя), могут проходить и другие движения. <br/> О равносильности системы (1) и ОДУ (2) см. также <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325037">Дифференциальные уравнения. Пер. с англ. А.Д.Мышкиса.(c. 44-50)</a> и др. <br/> <b> Теорема </b> 1. $$ ( Л . С . Понтрягин , с. 108—110.)
Для того чтобы точка $\left(x_0,y_0\right)??$ была положением равновесия системы (1), т. е. $x=x\left(t\right),$ $y=y\left(t\right)$ (1), ям (6), необходимо и достаточно, чтобы фазовая скорость $W\left(x_0,y_0\right)$ в точке $\left(x_0,y_0\right)$ была равна нулю (см. Замечание 2 и равенства (5)). <br/> <b> Теорема </b> 2. $$ ( А . В . Боровских , А . И . Перов , с. 275—278.)
Автономная система (см. (1)): $$\frac{dx}{dt}=Q\left(x,y\right),\frac{dy}{dt}=P\left(x,y\right)$$ на иметь трех типов, а <br/> 1) $$ точка;
2) $$ замкнутая кривая без самопересечений (цикл);
3) $$ незамкнутая кривая без самопересечений.
(См. также и другие руководства, например книгу: Обыкновенные дифференциальные уравнения. Изд. 2-е, перераб.(c. 105-108) .)
Пример 2. $$ ( Г . П . Головач , c. 296.)
Дана автономная система $$\frac{dx}{dt}=0,\frac{dy}{dt}=0.$$ Точки равновесия (покоя) — точки плоскости $xy.$ Интегральных кривых нет на плоскости $xy.$ <br/> <b> Замечание </b> 4. $$ ( Н . М . Матвеев , с. 149—154, 315—319.)
Определения точки равновесия (покоя), сформулированные выше, распространяются также и на нормальную систему ОДУ, т. е. систему, правая часть которой явно содержит время $t.$ Пусть $$\left.rd{x}_1/dt=X_1\left(t,x_1,x_2\right);d{x}_2/dt=X_2\left(t,x_1,x_2\right)\right\}.\left(7\right)$$ Точка $\left(x_1^{\left(0\right)},x_2^{\left(0\right)}\right),$ в которой при всех $t?t_0$ правые части системы (7) обращаются в нуль $$\left.r{X}_1\left(t,x_1^{\left(0\right)},x_2^{\left(0\right)}\right)=0,\left[2.5mm\right]X_2\left(t,x_1^{\left(0\right)},x_2^{\left(0\right)}\right)=0,\right\}$$ называется точкой равновесия (покоя) системы (7). <br/> <b> Замечание </b> 5. $$ О понятии «динамическая система» см. цитированную литературу, в частности Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям.(c. 277-278) ; Курс дифференциальных уравнений. Изд. 8-е, стереотип.(c. 265-269) ; Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.(c. 168-171) .
Отметим, что в данном п. $1^{?}$ (как и в других пунктах) ограничились рассмотрением систем из двух уравнений $\left(n=2\right).$ В цитируемой литературе $n?2.$ <br/> <p> $2^{?}.$ Устойчивость решения (движения) систем ОДУ ( <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325024">Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Учебное пособие. Изд. 5-е, дополн.(c. 288-294)</a> ). <br/> Рассматривается нормальная система ОДУ вида (7). Считаем, что функции $X_1$ и $X_2$ определены и непрерывны как функции от времени $t$ $\left(t?t_0\right)$ и как функции от $x_1,x_2$ в некоторой окрестности точки $x_1=0,$ $x_2=0,$ причем $X_1$ и $X_2$ в этой точке равны нулю при всех значениях $t?t_0$ : $$\left.l{X}_1\left(t,0,0\right)=0;X_2\left(t,0,0\right)=0\right\}.\left(8\right)$$ На основании изложенного заключаем, что система ОДУ (7) имеет нулевое решение $$x_1?0,x_2?0,\left(9\right)$$ которое соответствует нулевым начальным значениям искомых функций при $t=t_{0.}$ <br/> <br/> <b> Определение </b> 5. $$ Нулевое решение (9) системы (7) называют невозмущенным решением этой системы, а движение, соответствующее невозмущенному решению, называют невозмущенным движением.
Определение 6. $$ Решение $$x_1=x_1\left(t\right),x_2=x_2\left(t\right)\left(10\right)$$ с ненулевыми начальными значениями искомых функций: $$x_1=x_1^{\left(0\right)},x_2=x_2^{\left(0\right)}\left(11\right)$$ при $t=t_0,$ называют возмущенным решением, а соответствующее ему движение — возмущенным движением. <br/> Числа (11) называют возмущениями. <br/> Пусть рассматриваемые возмущенные решения определены при значениях $t?t_{0.}$ <br/> <b> Определение </b> 7. $$ Если для всякого $?>0$ можно выбрать число $?>0$ так, чтобы при всяких возмущениях, удовлетворяющих условиям $$\left|x_1^{\left(0\right)}\right|<?,\left|x_2^{\left(0\right)}\right|<?,$$ и при всяком $t,$ превосходящем $t_0$ $\left(t?t_0\right),$ для возмущенных решений (см. (10)) выполнялись неравенства: $$\left|x_1\left(t\right)\right|<?,\left|x_2\left(t\right)\right|<?,$$ то невозмущенное решение (9) называется устойчивым в смысле Ляпунова. <br/> <b> Определение </b> 8. $$ Если невозмущенное решение (9) устойчиво и для всех реше- ний (10), соответствующих достаточно малым возмущениям (11), имеем: $$\lim x_1\left(t\right)=0\left(t+\right),\lim x_2\left(t\right)=0\left(t+\right),$$ то такое невозмущенное решение называется асимптотически устойчивым. <br/> <b> Замечание </b> 6. $$ Отрицание условий определения 7 приводит к понятию «невозмущенное решение неустойчивое».
Замечание 7. $$ Обыкновенные дифференциальные уравнения. Изд. 2-е, перераб.(c. 204-218) и др.

$3^{?}.$ Обращаемся к системе (1), в которой функции $P\left(x,y\right)$ и $Q\left(x,y\right)$ считаем линейными: $$\frac{dx}{dt}=ax+by,\frac{dy}{dt}=cx+dy,\left(12\right)$$ где $a,b,c,d$ — действительные числа. <br/> Точка $x=0,$ $y=0$ является точкой равновесия (покоя) системы (12). Движение, начинающееся в этой точке, сводится к состоянию покоя $$x?0,y?0.\left(13\right)$$ Соотношения (13) — невозмущенное решение (движение). <br/> <b> Теорема </b> 3. $$ ( Э . А . Коддингтон , Н . Левинсон , с. 404—408.)
Для того чтобы начало было устойчиво для системы (12), необходимо и достаточно, чтобы характеристические корни действительной неособой матрицы коэффициен- тов этой системы имели отрицательные или нулевые действительные части.
Пусть ${?}_1$ и ${?}_2$ — упомянутые выше характеристические корни. Расположение траекторий (как и движение по ним) в окрестности точки покоя $\left(0,0\right)$ системы (12) определяется значениями ${?}_1$ и ${?}_{2.}$ <br/> Ниже приведена классификация для данной точки покоя: <br/> <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325003">Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям.(c. 278-294)</a> ; <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325017">Обыкновенные дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления.(c. 164-175)</a> ; <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325018">Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. Пер. с англ. Б.М.Левитана.(c. 404-408)</a> ; <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325023">Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.</a> <br/> <br/> c. 319—339; <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325028">Качественная теория дифференциальных уравнений.(c. 37-45)</a> ; <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325032">Обыкновенные дифференциальные уравнения. Изд. 2-е, перераб.(c. 115-127)</a> , 251—268; <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325044">Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.(c. 206-214)</a> . <br/> <p> 1) ${?}_1<0,$ ${?}_2<0,$ ${?}_1?{?}_{2.}$ <br/> Точка покоя — устойчивый узел; невозмущенное решение (движение) устойчивое. <br/> <p> 2) ${?}_1>0,$ ${?}_2>0,$ ${?}_1?{?}_{2.}$ <br/> Точка покоя — неустойчивый узел; невозмущенное решение (движение) неустойчивое. <br/> <p> 3) ${?}_1?{?}_2,$ ${?}_1>0,$ ${?}_2<0.$ <br/> Точка покоя — седло; невозмущенное решение (движение) неустойчивое. <br/> <p> 4) ${?}_1=p+qi,$ ${?}_2=p-qi,$ $p<0,$ $q?0.$ <br/> Точка покоя — устойчивый фокус; невозмущенное решение (движение) устойчивое. <br/> <p> 5) ${?}_1=p+qi,$ ${?}_2=p-qi,$ $p>0,$ $q?0.$ <br/> Точка покоя — неустойчивый фокус; невозмущенное решение (движение) неустойчивое. <br/> <p> 6) ${?}_1={?}_2=?,$ $?>0.$ <br/> Точка покоя — неустойчивый вырожденный узел/дикритический узел; невозмущенное решение (движение) неустойчивое. <br/> <p> 7) ${?}_1={?}_2=?,$ $?<0.$ <br/> Точка покоя — устойчивый вырожденный узел/дикритический узел; невозмущенное решение (движение) устойчивое. <br/> <p> 8) ${?}_1=qi,$ ${?}_2=-qi,$ $q?0.$ <br/> Точка покоя — центр; невозмущенное решение (движение) устойчивое. <br/> <p> 9) ${?}_1=0,$ ${?}_2>0;$ ${?}_1=0,$ ${?}_2<0;$ ${?}_1={?}_2=0$ — случаи, для которых названий для точек покоя не имеется ( <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325003">Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям.(c. 291-294)</a> ). <br/> Отметим, что терминология по разделу данной статьи весьма разнообразна. <br/> О дальнейшем см. цитированную литературу и статьи тезауруса. <br/>