Линейчатая поверхность

в дифференциальной геометрии - поверхность, образованная движением прямой линии. Прямые, принадлежащие этой поверхности, называются прямолинейными образующими, а каждая кривая, пересекающая все прямолинейные образующие,- направляющей кривой. Если [img: http://localhost:8080/file/031321-147.jpg] - радиус-вектор Направляющей, a m=m(v) - единичный вектор образующей, проходящей через [img: http://localhost:8080/file/031321-148.jpg] то радиус-вектор Л. п. есть [img: http://localhost:8080/file/031321-149.jpg] где и - координата точки на образующей. Линейный элемент Л. п.: [img: http://localhost:8080/file/031321-150.jpg] Л. п. характеризуется тем, что ее асимптотич. сеть - полугеодезическая. Л. п. всегда можно и притом единственным образом изогнуть так, что произвольная линия на ней станет асимптотической (теорема Бельтрами). Кроме того, если Л. п. F, не являющаяся развертывающейся, изгибается в Л. п. F*, то либо их образующие соответствуют друг другу, либо обе они изгибаются в квадрику, на к-рой сеть, соответствующая семействам образующих,- асимптотическая (теорема Бонне). Множество точек Л. п., в к-рых обращается в нуль геодезич. кривизна ортогональных траекторий образующих, наз. стрикционной линией Л. п. (или линией с ж а т и я, т. к. через каждую точку ее - стр и кц ионную точку - в пределе проходит общий перпендикуляр двух бесконечно сближающихся образующих). Координата стрикционной точки [img: http://localhost:8080/file/031321-151.jpg] на цилиндре стрикционная линия не определена, на других развертывающихся поверхностях она является ребром возврата. Предел ротношения кратчайшего расстояния между двумя бесконечно сближающимися образующими Л. п. к углу между ними наз. параметром распределения Л. п.: [img: http://localhost:8080/file/031321-152.jpg] развертывающаяся поверхность характеризуется тем, что для нее р=0. Гауссова кривизна Л. п: [img: http://localhost:8080/file/031321-153.jpg] Единственная минимальная Л. п.- геликоид. Л. п. вращения - однополостный гиперболоид, быть может вырождающийся в цилиндр, конус или плоскость. Если все прямолинейные образующие Л. п. параллельны одной плоскости, то она представляет собой Каталана поверхность.