Первый интеграл

обыкновенного дифференциального уравнения - отличная от постоянной и непрерывно дифференцируемая функция, производная к-рой вдоль решений данного уравнения тождественно равна нулю. Для скалярного уравнения [img: http://localhost:8080/file/041706-158.jpg] (*) П. и. есть функция F(x, у), находящаяся в левой части общего решения F(x, y)=C, где С - произвольная постоянная. Таким образом, F(x, у).удовлетворяет линейному уравнению [img: http://localhost:8080/file/041706-159.jpg] с частными производными 1-го порядка. П. и. может не существовать во всей области задания уравнения (*), однако в малой окрестности точки, в к-рой функция f(x, у).непрерывно дифференцируема, он всегда существует. П. и. определяется не единственным образом. Так, для уравнения [img: http://localhost:8080/file/041706-160.jpg] П. и. является как функция x2+y2, так, напр., и функция [img: http://localhost:8080/file/041706-161.jpg] Знание П. и. нормальной системы [img: http://localhost:8080/file/041706-162.jpg] позволяет понизить порядок этой системы на единицу, а отыскание пфункционально независимых П. и. равносильно отысканию общего решения в неявном виде. Если [img: http://localhost:8080/file/041706-163.jpg] - функционально независимые П. и., то всякий другой П. и. F(x, t).можно представить в виде [img: http://localhost:8080/file/041706-164.jpg] где Ф - нек-рая дифференцируемая функция.