Особое решение (особый интеграл) ОДУ первого порядка

<a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325044">Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.(c. 57-61)</a> . <br/> <b> Определение </b> . $$ Точки $\left(x_0,y_0\right),$ в окрестности которых решения уравнения $$\frac{dy}{dx}=f\left(x,y\right),\left(1\right)$$ удовлетворяющего условию $y\left(x_0\right)=y_0$ не существует или решение существует, но не единственно, называются особыми точками. <br/> Кривая, состоящая сплошь из особых точек, называется особой. Если график некоторого решения уравнения (1) сплошь состоит из особых точек, то решение называется особым. <br/> Другие определения особых решений см. в цитированной литературе, а также в статье ЛСУ тезауруса: «Решение ОДУ первого порядка |RDE0079|». <br/> <p> $1^{?}$ <b> Замечание </b> . $$ ( В . В . Степанов , с. 120—122.)
Особые решения могут проходить только через те точки, в которых не выполняется условие Липшица.
Пример 1. $$ ( В . В . Степанов , с. 122.) $$y^{\text{'}}=y^{2/3};f\left(x,y\right)=y^{2/3};\frac{f}{y}{|}_{y=0}=;$$ функция $y=0$ удовлетворяет исходному уравнению. Через каждую точку оси $OX$ проходит кривая из семейства кубических парабол (общего решения). В итоге: $y=0$ — особое решение. <br/> <b> Пример </b> 2. $$ ( В . В . Степанов , с. 123.) $$y^{\text{'}}=y^{2/3}+a,a?0.$$ Прямая $y=0$ — место точек, где не выполняется условие Липшица. Функция $y=0$ не является решением. <br/> <b> Пример </b> 3. $$ ( Н . М . Матвеев , с. 43—44, 340.) $$\frac{dy}{dx}=\frac{y\ln y}{\sin x}\left(y?0\right);\frac{f}{y}=\frac{\ln y+1}{\sin x}|{|}_{y=0x?0}=-.$$ В монографии показано, что исходное уравнение особых решений не имеет. <br/> <b> Вывод </b> $$ ( В . В . Степанов , с. 123).
Чтобы найти особые решения ОДУ (1), надо найти место точек, где не выполнено условие Липшица. Если это место образует одну или несколько кривых, надо проверить, являются ли эти кривые интегральными кривыми ОДУ (1) и нарушается ли в каждой их точке свойство единственности.
Если эти условия выполнены, то найденная кривая представляет особое решение.

$2^{?}$ <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325034">Курс дифференциальных уравнений. Изд. 8-е, стереотип.(c. 123-124)</a> ; <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325024">Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Учебное пособие. Изд. 5-е, дополн.(c. 40-44)</a> ; <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325043">Дифференциальные уравнения. Учебное пособие для физ.-матем. факультетов пед. институтов.(c. 22-23)</a> , 93—97. <br/> Рассматриваются ОДУ первого порядка вида: $$\frac{dy}{dx}=f\left(x\right)?\left(y\right).\left(2\right)$$ Пусть $$\left(?\right)=0,?=.$$ Тогда функция $y=?$ является решением уравнения (2). <br/> несобственный интеграл $$y_0?\frac{dy}{\left(y\right)}$$ сходится (расходится), то $y=?$ — особое решение (обычное решение). <br/> <b> Пример </b> 4. $$ ( А . Г . Школьник , с. 94—97, 22—24.) $$y^{\text{'}}=\sqrt{1-y^2},\left|y\right|?1;y=\sin \left(x+c\right),-\frac{?}{2}?x+c?\frac{?}{2},$$ $$y=\pm 1\text{– xxxxxxx xxxxxx:}\lim \frac{dy}{\sqrt{1-y^2}}=\pm \frac{?}{2}\left(y\pm 1\right).$$ <br/> <p> $3^{?}$ <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325034">Курс дифференциальных уравнений. Изд. 8-е, стереотип.(c. 125-132)</a> . <br/> Пусть дано ОДУ $$F\left(x,y,p\right)=0,p=y^{\text{'}},\left(3\right)$$ где левая часть — неприводимый многочлен по $p$ : $$A_n\left(x,y\right)p^n+\dots +A_1\left(x,y\right)p+A_0\left(x,y\right)=0,$$ $A_k\left(x,y\right)$ — многочлены по $x$ и по $y.$ <br/> Исключая параметр $p$ из системы уравнений $$\left\{lF\left(x,y,p\right)=0,\left[1.5mm\right]F\left(x,y,p\right)/p=0,\right.$$ получаем уравнение дискриминантной кривой $$?\left(x,y\right)=0.\left(4\right)$$ <br/> <br/> Если определяемая уравнением (4) функция $y=\left(x\right)$ является решением уравне- ния (3), то решение (вообще говоря) особое. <br/> <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325044">Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.(c. 76-79)</a> . <br/> Рассматривается ОДУ $$F\left(x,y,y^{\text{'}}\right)=0.\left(5\right)$$ Напомним, что множество точек $\left(x,y\right),$ в которых нарушается единственность решений ОДУ (5), называется особым множеством. <br/> Далее, пусть функция $F\left(x,y,y^{\text{'}}\right)$ (см. (5)) непрерывна по всем аргументам в некоторой области, в которой также существует ограниченная по модулю производная $F/y.$ Тогда в точках особого множества удовлетворяются уравнения системы $$\left\{lF\left(x,y,p\right)=0,\left[1.6mm\right]F/p=0,\right. p=y^{\text{'}}.\left(6\right)$$ Имеем правила нахождения особых решений уравнения (5): <br/> — $$ $(-0.5ptp$ - $\left(-0.5pt6-0.5pt\right);$ <br/> — $$ найти среди ветвей дискриминантной кривой интегральные кривые;
— $$ исследовать найденные интегральные кривые на свойство единственности;
— $$ если единственность нарушена, то интегральные кривые (интегральная кривая) $\text{–}$ являются особыми интегральными кривыми. <br/> <b> Пример </b> 5. $$ ( Л . Э . Эльсгольц , с. 78—79.) $$y=2x{y}^{\text{'}}-{\left(y^{\text{'}}\right)}^2;\left\{l2xp-p^2=y,\left[1.5mm\right]2x-2p=0;\right.$$ $y=x^2$ не является решением данного уравнения Лагранжа. Особого решения нет. <br/> <p> $4^{?}$ <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325034">Курс дифференциальных уравнений. Изд. 8-е, стереотип.(c. 132-135)</a> ; <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325044">Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.(c. 80-84)</a> ; <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325040">Курс математического анализа. Ч.2. Пособие для физ.-матем. факультетов пед. институтов.(c. 278-286)</a> ; <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325024">Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Учебное пособие. Изд. 5-е, дополн.(c. 356-361)</a> ; <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325002">Обыкновенные дифференциальные уравнения. (с.37-40)</a> . <br/> Рассматривается ОДУ $$F\left(x,y,y^{\text{'}}\right)=0\left(7\right)$$ и пусть $$?\left(x,y,c\right)=0\left(8\right)$$ — общее решение (общий интеграл) уравнения (7), где $?$ — непрерывная функция трех аргументов, имеющая частные непрерывные производные ${{?}_x}^{\text{'}},{{?}_y}^{\text{'}},{{?}_c}^{\text{'}}.$ <br/> Если семейство интегральных кривых (8) имеет огибающую, то эта огибающая является особым решением уравнения (7) (см. цитированную литературу, а также статью ЛСУ тезауруса «Решение ОДУ первого порядка |RDE0079|». <br/> С другой стороны, огибающая, в общем случае как некоторая ветвь, входит в состав дискриминантной $(c$ -дискриминантной) кривой, определяемой уравнениями $$\left\{l?\left(x,y,c\right)=0,\left[1.5mm\right]?\left(x,y,c\right)/c=0,\right.\left(9\right)$$ которым могут удовлетворять координаты других точек, а не только огибающих. <br/> Чтобы некоторая ветвь дискриминантной кривой, определяемой уравнениями (9), была огибающей, достаточно, чтобы на ней существовали ограниченные по модулю частные производные $$\left.c\left|{{?}_x}^{\text{'}}\right|?N<,\left|{{?}_y}^{\text{'}}\right|?M<;\left[-1.5mm\right]{\left({{?}_x}^{\text{'}}\right)}^2+{\left({{?}_y}^{\text{'}}\right)}^2?0,\text{x.}?\text{x.}{{?}_x}^{\text{'}}?0\text{xxx}{{?}_y}^{\text{'}}?0.\right\}\left(10\right)$$ В пп. $3^{?}$ и $4^{?}$ представлены методы нахождения особого решения (см. (6) и (9), (10)). С различными примерами можно познакомиться в справочном пособии: <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325004">Справочное пособие по высшей математике. Т.5 (с.100-106)</a> . <br/> <p> $5^{?}$ Н по Н . П . ( <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325024">Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Учебное пособие. Изд. 5-е, дополн.(c. 346-361)</a> ; <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325011">Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. Изд. 3-е, перераб. и дополн.(c. 84-88)</a> , 112—125). <br/> Дано уравнение $$\frac{dy}{dx}=f\left(x,y\right),\left(11\right)$$ правая часть которого опеделена и непрерывна в односвязной открытой области $D,$ где выполнены условия единственности решения уравнения. <br/> Пусть $$y=\left(x,C\right)\left(12\right)$$ — общее решение уравнения (11) в области $D$ (общее решение в смысле Н. П.Еру- гина); пусть далее $$y=g\left(x\right)\left(13\right)$$ — решение уравнения (11). <br/> Если решение (13) лежит внутри области $D,$ то тогда $g\left(x\right)=\left(x,C^{?}\right),$ где $C^{?}$ — некоторое значение произвольной постоянной. Функция (13) — частное решение уравнения (11). <br/> Поэтому особые решения уравнения (11) могут быть на границе области $D,$ но не внутри этой области, и пусть кривая (13) ее граница. <br/> По определению общего решения (12) для всякой точки $\left(x,y\right)?D$ имеем $$?\left(x,y\right)=C.\left(14\right)$$ Далее рассматривается предел $$\lim ?\left(x,y\right)\text{xxx}\left(x,y\right){}_{\text{xx.}}D\left(15\right)$$ (в обозначениях первоисточника). <br/> Относительно (15) могут быть варианты: <br/> <p> а) функция (14) не имеет предела (см. (15)); <br/> <p> б) функция (14) имеет предел (см. (15)) и этот предел, например $C_0,$ не зависит от точки границы $D,$ и граница области $D$ рассматривается как частное решение: $g\left(x\right)=\left(x,C_0\right);$ <br/> <p> в) функция (14) имеет предел (см. (15)), обозначаемый как $C\left(x\right)$ и зависящий от точки границы $D.$ Пусть, далее, существуют $C^{\text{'}}\left(x\right)$ и ${{}_C}^{\text{'}}\left(x,C\right),$ где $C=C\left(x\right);$ предполага- ем также, что функция $f\left(x,y\right)$ имеет предел при $\left(x,y\right){}_{\text{xx.}}D.$ Тогда решение (13) — особое решение и это решение получается из общего решения при $C=C\left(x\right)$ : $$g\left(x\right)=\left[x,C\left(x\right)\right].$$ Таким образом (см. <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325024">Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Учебное пособие. Изд. 5-е, дополн.(c. 348-348)</a> ), граница $D$ есть особое решение: через каждую точку границы области $D$ проходят два решения: решение (13), являющееся особым (ибо оно получается из общего решения (12) при $C=C\left(x\right)),$ и решение, про- ходящее через эту точку границы изнутри области $D$ (либо проходящее через эту точку, либо оканчивающееся в ней, т. е. $y{y}_0$ при $x{x}_0,$ где $\left(x_0,y_0\right)$ — точка границы $D).$ <br/> Полное изложение метода Н. П.Еругина см. в указанных первоисточниках. <br/> <b> Пример </b> 6. $$ ( Н . М . Матвеев , с. 349.) $$y^{\text{'}}=2\sqrt{y},D:-<x<+,0<y<+.$$ Общее решение в области $D$ : $y={\left(x+c\right)}^2,$ $\left(x?-c\right);$ $$\lim ?\left(x,y\right)=-x\text{xxx}\left(x,y\right)\left(x,0\right).$$ Решение $y=0,$ граница области $D,$ есть особое решение. <br/> <b> Пример </b> 7. $$ ( Н . М . Матвеев , с. 349, 356.) $$y^{\text{'}}=y^{3/2},D:-<x<+,0?y<+.$$ Общее решение в этой области: $y=4/{\left(x+c\right)}^2,$ $(x<-c);$ $$\lim ?\left(x,y\right)=-\text{xxx}\left(x,y\right)\left(x,0\right).$$ Решение $y=0,$ граница области $D,$ — частное решение. <br/>