ОДУ первого порядка, не разрешенное относительно производной

$1^{?}$ О неявных функциях <br/> <b> Теорема </b> $$ о существовании и единственности неявной функции
(Cм. Курс математического анализа. Ч.2. Пособие для физ.-матем. факультетов пед. институтов.(c. 104-108) .)
Пусть относительно $F\left(x,y,z\right)$ выполнены следующие условия: <br/> <p> 1) функция $F\left(x,y,z\right)$ определена и непрерывна в области $V,$ где $$x_0-??x?x_0+?,y_0-??y?y_0+?,z_0-??z?z_0+?;$$ <br/> <p> 2) в области $V$ существуют и непрерывны частные производные ${F_x}^{\text{'}},{F_y}^{\text{'}},{F_z}^{\text{'}};$ <br/> <p> 3) $F\left(x_0,y_0,z_0\right)=0;$ <br/> <p> 4) ${F_z}^{\text{'}}\left(x_0,y_0,z_0\right)?0.$ <br/> Тогда в некоторой окрестности $g$ точки $\left(x_0,y_0\right)$ существует единственная непрерывная функция $z=f\left(x,y\right),$ принимающая значение $z_0$ при $x=x_0,$ $y=y_0,$ которая обращает уравнение $$F\left(x,y,z\right)=0$$ в тождество $$F\left[x,y,f\left(x,y\right)\right]?0;$$ функция $f\left(x,y\right)$ в области $g$ имеет непрерывные частные производные ${f_x}^{\text{'}}$ и ${f_y}^{\text{'}}.$ <br/> <b> Замечание </b> 1. $z/x=-{F_x}^{\text{'}}/{F_z}^{\text{'}};$ $z/y=-{F_y}^{\text{'}}/{F_z}^{\text{'}}.$ <br/> Символом $R$ обозначим пространство переменных $\left(u,x,y,\dots \right),$ а символом $R^{\text{'}}$ пространство переменных $\left(x,y,\dots \right).$ <br/> <b> Теорема </b> $$ о существовании и дифференцируемости неявной функции
(Cм. Основы математического анализа. Ч.1. Изд. 3-е, исправл. и дополн.(c. 527-533) .)
П $F\left(u,x,y\right)$ в $M_0\left(u,x,y\right)$ пространства $R,$ причем частная производная $F/u$ непрерывна в точке $M_{0.}$ Тогда, если в точке $M_0$ функция $F$ обращается в нуль, а частная производная $F/u?0,$ то для любого достаточно малого числа $?>0$ найдется такая окрестность точки ${M_0}^{\text{'}}\left(x,y\right)$ пространства $R^{\text{'}},$ что в пределах этой окрестнос- ти существует единственная функция $u=\left(x,y\right),$ которая удовлетворяет условию $|u-u|<?$ и является решением уравнения $$F\left(u,x,y\right)=0,$$ причем эта функция $u=\left(x,y\right)$ непрерывна и дифференцируема в указанной окрестности точки ${M_0}^{\text{'}}.$ <br/> <p> $2^{?}$ О существовании и единственности решений ОДУ <br/> <b> Теорема </b> . $$ ( И . Г . Петровский , с. 99—107.)
Пусть дано уравнение $$F\left(x,y,y^{\text{'}}\right)=0,\left(*\right)$$ где функция $F\left(x,y,y^{\text{'}}\right)$ обладает следующими тремя свойствами: <br/> <p> 1) $F\left(x,y,y^{\text{'}}\right)$ и $$ в ве $\left(x,y,y^{\text{'}}\right),$ где она непрерывна. <br/> <p> 2) Для некоторой точки $\left(x_0,y_0\right),$ лежащей на плоскости $\left(x,y\right),$ число различных решений уравнения $\left(*\right)$ относительно $y^{\text{'}}$ конечно и равно $m.$ Пусть этими решениями будут числа $$b_1,b_2,\dots ,b_m(m>0).$$ <br/> Каждая из точек $\left(x_0,y_0,b_i\right)$ $\left(i=1,2,\dots ,m\right)$ лежит внутри $G,$ и в некоторой окрестности $R_i$ каждой из этих точек функция $F\left(x,y,y^{\text{'}}\right)$ имеет непрерывную производную по $y$ и непрерывную производную по $y^{\text{'}},$ которая по абсолютной величине всюду в $R_i$ превосходит некоторое постоянное положительное число. <br/> Тогда существует окрестность $A$ точки $\left(x_0,y_0\right),$ расположенная в плоскости $\left(x,y\right),$ причем через каждую точку $A$ проходит $m$ и только $m$ решений уравнения $\left(*\right).$ <br/> <b> Замечание </b> 2. $$ Согласно теореме о неявной функции (см. п. $1^{?})$ из предположений сформулированной выше теоремы следует: у каждой из точек $\left(x_0,y_0,b_i\right)$ в пространстве $\left(x,y,y^{\text{'}}\right)$ существует такая окрестность $R_i,$ в которой уравнение $\left(*\right)$ имеет одно и только одно решение вида $$y^{\text{'}}=f_i\left(x,y\right)\left(i=1,2,\dots ,m\right);$$ функции $f_i\left(x,y\right)$ непрерывны по $x$ и имеют производную по $y,$ равную $$-{F_y}^{\text{'}}\left(x,y,f_i\right)/{F_{f_i}}^{\text{'}}\left(x,y,f_i\right)$$ (см. <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325030">Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Изд. 6-е, исправл.(c. 99-107)</a> ). <br/> А . Н . Тихонов , А . Б . Васильева , А . Г . Свешников , c. 44—47.) <br/> Если в некотором замкнутом трехмерном прямоугольнике $D,$ с центром в точ- ке $\left(x_0,y_0,{y_0}^{\text{'}}\right),$ где ${y_0}^{\text{'}}$ — действительный корень уравнения $F\left(x_0,y_0,y^{\text{'}}\right)=0,$ выполнены условия: <br/> <p> а) $F\left(x,y,y^{\text{'}}\right)$ непрерывна по совокупности аргументов вместе с частными производными $F/y$ и $F/y^{\text{'}},$ <br/> <p> б) $F/y^{\text{'}}\left(x_0,y_0,{y_0}^{\text{'}}\right)?0,$ <br/> то в $x=x_0$ $y=y\left(x\right)$ $F\left(x,y,y^{\text{'}}\right)=0,$ удовлетворяющее условиям $$y\left(x_0\right)=y_0,y^{\text{'}}\left(x_0\right)={y_0}^{\text{'}},$$ причем это решение единственно. <br/> <b> Замечание </b> 3. $$ Свойство единственности решения уравнения $F\left(x,y,y^{\text{'}}\right)=0,$ удовлетворяющего условию $y\left(x_0\right)=y_0,$ понимают в следующем смысле: через данную точку $\left(x_0,y_0\right)$ по данному направлению проходит не более одной интегральной кривой уравнения $F\left(x,y,y^{\text{'}}\right)=0$ (см. теоремы пп. $1^{?}$ и $2^{?}$ данной статьи, а также, например, книгу: <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325044">Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.(c. 75-84)</a> ). <br/> И еще: говорят, что решение Коши задачи единственно, если число интегральных кривых, проходящих через точку $\left(x_0,y_0\right),$ не больше числа вещественных направлений поля, определяемых уравнением (1) в этой точке (см. также (2)) ( <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325024">Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Учебное пособие. Изд. 5-е, дополн.(c. 111-114)</a> ). <br/> <p> $3^{?}$ ОДУ первого порядка $n$ -й степени ( <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325024">Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Учебное пособие. Изд. 5-е, дополн.(c. 114-117)</a> ) $$A_0\left(x,y\right){\left(y^{\text{'}}\right)}^n+A_1\left(x,y\right){\left(y^{\text{'}}\right)}^{n-1}+\dots +A_{n-1}\left(x,y\right)y^{\text{'}}+A_n\left(x,y\right)y=0\left(4\right)$$ в каждой точке $\left(x,y\right)$ некоторой области определяет $n$ значений $y^{\text{'}}.$ Предположим, что при разрешении ОДУ (4) относительно $y^{\text{'}},$ имеем $m$ вещественных решений: $$y^{\text{'}}=f_k\left(x,y\right),k=1,2,\dots ,m?n\left(5\right)$$ Тогда выражение $$\left[{?}_1\left(x,y\right)-C\right]\left[{?}_2\left(x,y\right)-C\right]\dots \left[{?}_m\left(x,y\right)-C\right]=0,$$ где ${?}_k\left(x,y\right)=C$ есть общее решение (общий интеграл) $k$ -го ОДУ из совокупнос- ти (5), равносильно общему решению (общему интегралу) ОДУ (4): $$\left\{{?}_k\left(x,y\right)=C,k=1,2,\dots ,m?n\right\}.$$ <br/> <br/> Параметра введения общий метод ( <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325024">Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Учебное пособие. Изд. 5-е, дополн.(c. 125-135)</a> ) <br/> Пусть ОДУ $$F\left(x,y,p\right)=0,y^{\text{'}}=p\left(6\right)$$ допускает параметрическое представление, а именно: $$x=\left(u,v\right),y=?\left(u,v\right),p=?\left(u,v\right),\left(7\right)$$ так что при всех допустимых значениях параметров $u$ и $v$ $$F\left[\left(u,v\right),?\left(u,v\right),?\left(u,v\right)\right]?0.$$ Имея в виду $dy=p?dx,$ в результате некоторых преобразований получаем $$\frac{dV}{du}=(??\frac{}{u}-\frac{?}{u}/(\frac{?}{v}-??\frac{}{v}$$ — ОДУ первого порядка, разрешенное относительно производной. Общее решение (общий интеграл) ОДУ (1), см. также (6), можно получить в параметрическом представлении. <br/> <b> Замечание </b> 4. $$ По поводу параметрического представления (7) см., например, Аналитическая геометрия.(c. 100-108) . См. также Дифференциальные уравнения. Изд. 4-е, стереотип.(c. 44-50) .

$4^{?}$ Лежандра преобразование ( <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325024">Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Учебное пособие. Изд. 5-е, дополн.(c. 136-139)</a> ) <br/> Пусть $x$ и $y$ — некоторые переменные и при этом $y=y\left(x\right),$ и существует $y^{\text{'}}.$ Пусть $X$ и $Y$ — новые переменные, такие, что $X=y^{\text{'}}$ и $Y=x{y}^{\text{'}}-y.$ Выражения $$X=y^{\text{'}},Y=x{y}^{\text{'}}-y;x=\frac{dY}{dX},y=X\frac{dY}{dX}-Y$$ называются Лежандра преобразованием. <br/> <p> $5^{?}$ О методах решения ОДУ первого порядка , не ной, неполного, а также полного и разрешенного или относительно искомой функции, или относительно независимой переменной (см. <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325024">Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Учебное пособие. Изд. 5-е, дополн.(c. 118-129)</a> , 130—135; <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325034">Курс дифференциальных уравнений. Изд. 8-е, стереотип.(c. 110-120)</a> и др.). <br/> ОДУ: $$F_1\left(y^{\text{'}}\right)=0,F_2\left(x,y^{\text{'}}\right)=0,F_3\left(y,y^{\text{'}}\right)=0,x=\left(y,y^{\text{'}}\right),y=?\left(x,y^{\text{'}}\right);$$ $$y=f_1\left(y^{\text{'}}\right),x=f_2\left(y^{\text{'}}\right);$$ Лагранжа ОДУ первого порядка и Клеро ОДУ: $$y=\left(y^{\text{'}}\right)x+?\left(y^{\text{'}}\right), \left(y^{\text{'}}\right)?y^{\text{'}},\text{x}y=y^{\text{'}}x+?\left(y^{\text{'}}\right).$$ <br/> <p> $6^{?}$ З о ( <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325024">Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Учебное пособие. Изд. 5-е, дополн.(c. 135-139)</a> ) <br/> Приводится решение задачи, исходя из заданного семейства плоских кривых $$F\left(x,y,a\right)=0,$$ где $a$ — параметр. Рассматривается построение семейства изогональных траекторий (в частности ортогональных траекторий). <br/> В книге Н. М.Матвеева решение задачи рассматривается с использованием как декартовых, так и полярных координат. <br/>