Накопление погрешности

при численном решении алгебраических уравнений - суммарное влияние округлений, сделанных на отдельных шагах вычислительного процесса, на точность полученного решения линейной алгебраич. системы. Наиболее распространенным способом априорной оценки суммарного влияния ошибок округления в численных методах линейной алгебры является схема т. н. обратного анализа. В применении к решению системы линейных алгебраич. уравнений [img: http://localhost:8080/file/031502-571.jpg] схема обратного анализа заключается в следующем. Вычисленное прямым методом Мрешение хуи не удовлетворяет (1), но может быть представлено как точное решение возмущенной системы [img: http://localhost:8080/file/031502-572.jpg] Качество прямого метода оценивается по наилучшей априорной оценке, к-рую можно дать для норм матрицы [img: http://localhost:8080/file/031502-573.jpg] и вектора [img: http://localhost:8080/file/031502-574.jpg]. Такие "наилучшие" [img: http://localhost:8080/file/031502-575.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031502-576.jpg] наз. соответственно матрицей и вектором эквивалентного возмущения для метода М. Если оценки для [img: http://localhost:8080/file/031502-577.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031502-578.jpg] имеются, то теоретически ошибка приближенного решения [img: http://localhost:8080/file/031502-579.jpg] может быть оценена неравенством [img: http://localhost:8080/file/031502-580.jpg] Здесь [img: http://localhost:8080/file/031502-581.jpg] - число обусловленности матрицы А, а матричная норма в (3) предполагается подчиненной векторной норме [img: http://localhost:8080/file/031502-582.jpg] В действительности оценка для [img: http://localhost:8080/file/031502-583.jpg] редко бывает известна, и основной смысл (2) состоит в возможности сравнения качества различных методов. Ниже приводится вид нек-рых типичных оценок для матрицы [img: http://localhost:8080/file/031502-584.jpg] Для методов с ортогональными преобразованиями и арифметики с плавающей запятой (в системе (1) Аи bсчитаются действительными) [img: http://localhost:8080/file/031502-585.jpg] В этой оценке [img: http://localhost:8080/file/031502-586.jpg] - относительная точность арифметич. операций в ЭВМ, [img: http://localhost:8080/file/031502-587.jpg] - евклидова матричная норма, f(n) - функция вида [img: http://localhost:8080/file/031502-588.jpg], где п- порядок системы. Точные значения константы Си показателя kопределяются такими деталями вычислительного процесса, как способ округления, использование операции накопления скалярных произведений и т. д. Наиболее часто k=1 или 3/2. В случае методов типа Гаусса в правую часть оценки (4) входит еще множитель [img: http://localhost:8080/file/031502-589.jpg], отражающий возможность роста элементов матрицы Ана промежуточных шагах метода по сравнению с первоначальным уровнем (такой рост отсутствует в ортогональных методах). Чтобы уменьшить значение [img: http://localhost:8080/file/031502-590.jpg], применяют различные способы выбора ведущего элемента, препятствующие возрастанию элементов матрицы. Для квадратного корня метода, к-рый применяется обычно в случае положительно определенной матрицы А, получена наиболее сильная оценка [img: http://localhost:8080/file/031502-591.jpg] Существуют прямые методы (Жордана, окаймления, сопряженных градиентов), для к-рых непосредственное применение схемы обратного анализа не приводит к эффективным оценкам. В этих случаях при исследовании Н. п. применяются и иные соображения (см. [6] - [9]).