ОДУ первого порядка с разделенными и разделяющимися переменными

<b> Теорема </b> . $$ ( И . Г . Петровский , c. 22—25.)
Пусть при $a<x<b,$ $c<y<d$ функции $f_1\left(x\right)$ и $f_2\left(y\right)$ непрерывны, причем $f_2\left(y\right)$ нигде не обращается в нуль. Тогда через каждую точку $\left(x_0,y_0\right)$ прямоугольника $Q$ : $a<x<b,$ $x<y<d,$ проходит график одного и только одного решения уравнения $$\frac{dy}{dx}=f_1\left(x\right)?f_2\left(y\right).$$ <br/> Некоторые ОДУ , которые сводятся заменой переменных к ОДУ с разделенными/ разделяющимися (см. <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325044">Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.(c. 24-27)</a> , <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325024">Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Учебное пособие. Изд. 5-е, дополн.(c. 50-51)</a> , <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325034">Курс дифференциальных уравнений. Изд. 8-е, стереотип.(c. 30-32)</a> ) <br/> <p> $1^{?}.$ $dy/dx=f\left(y/x\right)$ — ОДУ первого порядка однородное. <br/> Преобразование : $y=z?x,$ $z$ — новая функция от $x.$ <br/> <p> $2^{?}.$ $dy/dx=f\left(ax+by+c\right),$ $a,b,c$ — постоянные, $a^2+b^2?0.$ <br/> Преобразование : $z=ax+by+c,$ $z$ — новая функция от $x.$ <br/> <p> $3^{?}.$ $\frac{dy}{dx}=f(\frac{a_{1}x+b_{1}y}{a_{2}x+b_{2}y},$ $\left|cc{a}_1{b}_1\left[0.8mm\right]a_2{b}_2\right|?0,$ где $a_1,a_2,b_1,b_2$ — постоянные. <br/> Преобразование : $y=u?x,$ где $u$ — новая функция от $x.$ <br/> <p> $4^{?}.$ $\frac{dy}{dx}=f(\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_1}{a_{2}x+b_{2}y+c_2},$ — $\left|cc{a}_1{b}_1\left[0.8mm\right]a_2{b}_2\right|=0,$ $c_1^2+c_2^2?0,$ $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=k,$ $a_1=k?a_2,$ $b_1=k?b_2;$ $k$ — конечное число. <br/> Преобразование : $z=a_{2}x+b_{2}y,$ $z$ — новая функция от $x.$ <br/> <p> $5^{?}.$ $\frac{dy}{dx}=f(\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_1}{a_{2}x+b_{2}y+c_2},$ — $\left|cc{a}_1{b}_1\left[0.8mm\right]a_2{b}_2\right|?0,$ $c_1^2+c_2^2?0.$ <br/> Преобразование : $x=X+x_1,$ $y=Y+y_1,$ где $\left(x_1,y_1\right)$ — точка пересечения прямых $$l{a}_{1}x+b_{1}y+c_1=0\left[0.8mm\right]a_{2}x+b_{2}y+c_2=0\}.$$ В новых переменных получаем: $\frac{dY}{dX}=f(\frac{a_{1}X+b_{1}Y}{a_{2}X+b_{2}Y}$ и далее согласно п. $3^{?}.$ <br/> <p> $6^{?}.$ $\frac{dy}{dx}+p\left(x\right)y+q\left(x\right)=0$ — ОДУ первого порядка линейное неоднородное, $y_1=y_1\left(x\right)$ — некоторое решение данного уравнения. <br/> Преобразование : $y=z+y_1,$ где $z$ — новая функция от $x.$ <br/>