ОДУ первого порядка линейное

<b> Теорема </b> . $$ ( И . Г . Петровский , с. 28—30.)
Пусть функции $p\left(x\right)$ и $q\left(x\right)$ непрерывны в интервале $a<x<b$ . Тогда через каждую точку $\left(x_0,y_0\right)$ полосы, определенной неравенствами $a<x<b,$ $-<y<,$ прохо- дит одна и только одна интегральная кривая этого уравнения, определенная при всех $x$ на интервале $\left(a,b\right).$ <br/> Общее решение ( общий интеграл ) ОДУ первого порядка линейного неоднородного (см. (1) и (3)) есть сумма общего решения соответствующего однородного ОДУ (см. (2)) и частного решения неоднородного ОДУ (см. (3)) (см. <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325024">Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Учебное пособие. Изд. 5-е, дополн.(c. 60-62)</a> , а также <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325033">Курс высшей математики. Т.II. Изд. 14-е, исправл.(c. 20-20)</a> ; <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325053">Дифференциальные уравнения. Изд. 3-е, стереотип.(c. 66-66)</a> ). ОДУ (1) сохраняет свой вид, т. е. свойство линейности (см. <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325024">Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Учебное пособие. Изд. 5-е, дополн.(c. 55-56)</a> ), при преобразованиях: <br/> <p> а) замене независимой переменной вида $x=\left(t\right),$ где $$ — непрерывно дифференцируемая функция на некотором интервале $\left(t_0,t_1\right)$ и $a=\left(t_0\right),$ $b=\left(t_1\right),$ ${}^{\text{'}}\left(t\right)>0,$ $t?\left(t_0,t_1\right);$ <br/> <p> б) линейной замене искомой функции $y\left(x\right)=?\left(x\right)z+?\left(x\right),$ где $z=z\left(x\right)$ — новая не- известная функция, $?\left(x\right),?\left(x\right)$ — непрерывно дифференцируемые функции от $x,$ $?\left(x\right)?0,$ $x?\left(a,b\right).$ <br/> (1) ( <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325024">Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Учебное пособие. Изд. 5-е, дополн.(c. 59-68)</a> ). <br/> При $q\left(x\right)?0,$ $x?\left(a,b\right)$ получают ОДУ с разделяющимися переменными. <br/> Пусть $q\left(x\right)?0,$ $x?\left(a,b\right).$ <br/> <p> $1^{?}$ Бернулли подстановка вида $y\left(x\right)=u\left(x\right)?v\left(x\right)$ приводит к двум дифференциальным уравнениям: $$\left.r{v}^{\text{'}}+p\left(x\right)v=0\left[1.5mm\right]v{u}^{\text{'}}=q\left(x\right)\right\}.$$ <br/> <p> $2^{?}$ Вариация произвольной постоянной (Лагранжа метод). <br/> <p> $3^{?}$ Эйлера метод множителя <br/> Имеем: $$\left[y^{\text{'}}+p\left(x\right)y\right]\exp \left(p\left(x\right)dx\right)=q\left(x\right)\exp \left(p\left(x\right)dx\right),$$ а потому $${\left[y\exp \left(p\left(x\right)dx\right)\right]}_x^{?}=q\left(x\right)\exp \left(p\left(x\right)dx\right).$$ Интегрирование последнего дифференциального уравнения дает общее решение (3). <br/> О Лагранжа методе см. также ( <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325034">Курс дифференциальных уравнений. Изд. 8-е, стереотип.(c. 34-37)</a> ) и др. <br/> ( <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325024">Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Учебное пособие. Изд. 5-е, дополн.(c. 62-63)</a> .) <br/> В выражениях (2) и (3) неопределенные интегралы можно заменить определенными интегралами с переменным верхним пределом: $$y\left(x\right)=\exp \left(-x_{0}xp\left(x\right)dx\right)\left[C+x_{0}xq\left(x\right)\exp \left(1pt{x}_{0}xp\left(x\right)dx\right)dx\right].\left(3\text{x}\right)$$ Поскольку $C=y\left(x_0\right)=y_0$ (см. (3а)), то имеем $$y\left(x\right)=\exp \left(-x_{0}xp\left(x\right)dx\right)\left[y_0+x_{0}xq\left(x\right)\exp \left(1pt{x}_{0}xp\left(x\right)dx\right)dx\right]\left(3\text{x}\right)$$ — представление общего решения ОДУ (1) в форме Коши. Из формулы (3) следует, что общее решение ОДУ первого порядка линейного есть линейная функция от произвольной постоянной: $y\left(x\right)=A_1\left(x\right)C+A_2\left(x\right),$ где функции $A_1\left(x\right)$ и $A_2\left(x\right)$ определяются указанными выше формулами. <br/> ( <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325024">Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Учебное пособие. Изд. 5-е, дополн.(c. 58-61)</a> .) <br/> Пусть $y_1=y_1\left(x\right),$ $y_2=y_2\left(x\right)$ — частные решения ОДУ (1) неоднородного. Тогда выражение $$y=y_1+C\left(y_2-y_1\right),C\text{– xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxx,}\left(4\right)$$ дает общее решение ОДУ (1) неоднородного, поскольку $C\left(y_2-y_1\right)$ — общее решение ОДУ однородного (см. (4) и (2)). <br/> ( <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325024">Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Учебное пособие. Изд. 5-е, дополн.(c. 68-71)</a> .) <br/> Пусть $y_1$ и $y_2$ — частные решения ОДУ (1) неоднородного. Тогда имеет место формула(4). $y_3$ — (1) $y_1$ и $y_2,$ получается из формулы (4) при некотором значении $C=C_3,$ т. е. $y_3=y_1+C_3\left(y_2-y_1\right).$ Поскольку $y_2-y_3=\left(1-C_3\right)\left(y_2-y_1\right),$ то получаем: $$\frac{y_2-y_3}{y_3-y_1}=\frac{1-C_3}{C_3}={}_3,$$ откуда выводят геометрическое свойство интегральных кривых: <br/> «всякая интегральная кривая линейного уравнения делит в постоянном отношении отрезок ординаты между какими-либо двумя интегральными кривыми этого уравнения». <br/> Некоторые ОДУ заменой переменных сводятся к ОДУ первого порядка линейному, в частности, Бернулли ОДУ. Имеем $$y^{\text{'}}+p\left(x\right)y=q\left(x\right)?y^m,m?0,1.$$ Если положить $y^{1-m}=u\left(x\right),$ где $u$ — новая неизвестная функция, то получаем $$u^{\text{'}}+\left(1-m\right)p\left(x\right)u=\left(1-m\right)q\left(x\right)$$ (см. <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325024">Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Учебное пособие. Изд. 5-е, дополн.(c. 70-71)</a> ). <br/> Абеля ОДУ первого и второго рода $$y^{\text{'}}=f_3\left(x\right)y^3+f_2\left(x\right)y^2+f_1\left(x\right)y+f_0\left(x\right),$$ $$\left[g_1\left(x\right)y+g_0\left(x\right)\right]y^{\text{'}}=f_2\left(x\right)y^2+f_1\left(x\right)y+f_0\left(x\right)\text{xxx}{f}_3=f_2=g_1=0,g_0=1$$ являются ОДУ первого порядка линейными. <br/> При некоторых значениях коэффициентов Якоби ОДУ первого порядка вырождает- ся в ОДУ первого порядка линейное. <br/> Якоби ОДУ первого порядка: $$\left(a_0+a_{1}x+a_{2}y\right)\left(xdy-ydx\right)+\left(b_0+b_{1}x+b_{2}y\right)dy+\left(c_0+c_{1}x+c_{2}y\right)dx=0$$ или $$\left(Bxy+A{x}^2+a_{3}x+b_{3}y+c\right)y^{\text{'}}=\left(B{y}^2+Axy+?x+?y+?\right).$$ Риккати ОДУ общее: $$y^{\text{'}}=P\left(x\right)y^2+Q\left(x\right)y+R\left(x\right)$$ дает уравнение (1) при $P?0.$ <br/>