Параметра введения общий метод $(F(x, y, y')=0)$

Прим: Используем материалы источников: [28] {\it Н\/}.\,{\it М\/}.~{\it Матвеев\/}, c.\,125--139; [42]~{\it В\/}.\,{\it В\/}.~{\it Степа-\lb нов\/}, c.\,113--120, 132; [44]~{\it А\/}.\,{\it Н\/}.~{\it Тихонов\/}, {\it А\/}.\,{\it Б\/}.~{\it Васильева\/},~{\it А\/}.\,{\it Г}.~{\it Свешников\/}, c.\,47--50;\lb {[8]} {\it Э\/}.~{\it Гурса\/}, c.\,\,272--277; [14] {\it В\/}.\,{\it Ф}.~{\it Зайцев\/}, {\it А\/}.\,{\it Д\/}.~{\it Полянин\/}, c.\,16--17; [57] {\it Ш\/}.-{\it Ж\/}.~{\it Валле-\lb Пуссен\/}, c.\,233--234; [19] {\it Э\/}.~{\it Камке\/}, c.\,53 и др. \item[{$1^\circ.$}] Дано ОДУ, не разрешенное относительно производной $$ F(x,\, y,\, p)=0,\qq y'=p.\eq(1)$$ Уравнение (1) (см. [44] А.\,Н.~Тихонов, А.\,Б.~Васильева, А.\,Г.~Свешников, с.\,50) можно трактовать как определяющее некоторую поверхность в пространстве $(x,\, y,\, p).$\lb С другой стороны (см. [18] В.\,А.~Ильин, Э.\,Г.~Позняк, с.\,100--108), данная поверхность может быть задана в параметрическом виде, а именно: $$x=\ffi(u,\, v),\qq y=\psi(u,\, v),\qq p=\chi(u,\, v).\eq(2)$$ \vskip-3pt\noi так что\vs{-1.2mm} $$F(\ffi(u,\,v),\, \psi(u,\,v),\,\chi(u,\,v))\equiv 0$$ при всех допустимых значениях параметров $\,u\,$ и $\,v.$ Далее, $dy=p\,dx$ и имея в ви-\lb ду (2), получаем\vs{-1.6mm} $$\frac{dv}{du}=\(\chi\cd \frac{\pt \ffi}{\pt u}-\frac{\pt\psi}{\pt u}\)\!\bigg/ \!\(\frac{\pt\psi}{\pt v}-\chi\cd\frac{\pt\ffi}{\pt v}\)\!,\eq(3)$$ где приняли $v$ за искомую функцию, а $u$ -- за независимую переменную и при этом знаменатель в (3) отличен от нуля. Если $v=\om(u,\, c)$ -- общее решение ОДУ (3), то получаем общее решение уравнения в параметрическом виде: $$ x=\ffi(u,\,\om(u,\, c)),\qq y=\psi(u,\,\om(u,\, c)).$$ \item[{$2^\circ.$}] {\it О методе дифференцирования} Обращаемся к ОДУ (1). В обозначениях первоисточников [14] и [19] имеем: $$F(x,\, y,\, t)=0,\qq t=y_x'.\eq(5)$$ \vskip-3pt\noi Далее,\vs{-1.5mm} $$F_x'\cd dx+F_y'\cd dy+F_t'\cd dt=0.\eq(6)$$ На основании (6) и равенства $dy=t\cd dx$ (см. (5)) получаем: $$\frac{dx}{dt}=-\frac{F_t'}{F_x'+t\cd F_y'},\qq \frac{dy}{dt}= -\frac{tF_t'}{F_x'+t\cd F_y'},\eq(7)$$ где $$F_x'+t\cd F_y'\neq 0.\eq(8)$$ Дело сводится к получению общего решения уравнения (1) в параметрической фор-\lb ме (см. (7) и (1)). \item[{$3^\circ.$}] К уравнениям вида\vs{-1.2mm} $$y=f_1(x,\, y'),\qq x=f_2(y,\, y'),\qq y'=p\eq(9)$$ применимы методы, изложенные выше. Например, дифференцированием первого уравнения (9) получаем:\vs{-1.6mm} $$\frac{\pt f_1}{\pt x}+\frac{\pt f_1}{\pt p}\cd \frac{dp}{dx}=p$$ -- уравнение в отношении искомой функции $p$ и переменной $x.$ Если $p=\ffi(x,\, C),$ то $y=f_1(x,\, \ffi(x,\, C))$ -- общее решение первого уравнения (9).\lb (См. [42] {\it В\/}.\,{\it В\/}.~{\it Степанов\/}, с.\,113--114.) \item[{$4^\circ.$}] \soo{Пример}.$\hpa$([42] {\it В\/}.\,{\it В\/}.~{\it Степанов\/}, с.\,115, 132; [28] {\it Н\/}.\,{\it М\/}.~{\it Матвеев\/}, с.\,129--130, 343, 361.) $$y^{\prime{\hskip1pt}3}-4xyy'+8y^2=0,\qq y'=p.\eq(10)$$ \vskip-3pt\noi Имеем:\vs{-1.4mm} $$ x=\frac{p^2}{4y}+\frac{2y}{p}.\eq(11)$$ В соотношении (11) дифференцируем обе части по $y,$ полагая $p$ функцией от $y,$ учитывая, что $\,dy/dx=p.$ В результате приходим к следующему выражению: $$\frac{dp}{dy}\cd \frac{p^3-4y^2}{2yp^2}=\frac{p^3-4y^2}{4y^2p}.\eq(12)$$ \vskip-3pt\noi Пусть\vs{-1.0mm} $$p^3-4y^2\neq 0.$$ Уравнение (12) преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными, общее решение которого имеет вид:\vs{-1.6mm} $$p=C_1\cd y^{1/2}. \eq(13)$$ Подставляя (13) в (10), получаем в итоге общее решение этого уравнения (опуская некоторые выкладки):\vs{-1.6mm} $$ y=C(x-C)^2.\eq(14)$$ Пропуская дальнейшие выкладки из цитируемых первоисточников, отметим, что функция $y=4x^3/27$ -- особое решение уравнения (10); функция $y=0$ -- также особое решение уравнения (10), так как это решение получается из общего решения (14) не только при $C=0,$ но и при $C=x.$