Клеро ОДУ

<a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325033">Курс высшей математики. Т.II. Изд. 14-е, исправл.(c. 32-39)</a> . <br/> « изоклина » <br/> И ( и такая, что направление этой прямой совпадает с тем постоянным направлением касательных, которое определяется ОДУ в точках этой изоклины. <br/> На основании изложенного из уравнения (1) получаем семейство изоклин $$y=C?x+?\left(c\right),\left(2\right)$$ которое и есть семейство интегральных прямых ОДУ (1). <br/> <br/> Метод решения ОДУ $\left(1\right)$ с использованием параметра <br/> ( <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325024">Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Учебное пособие. Изд. 5-е, дополн.(c. 133-135)</a> , <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325034">Курс дифференциальных уравнений. Изд. 8-е, стереотип.(c. 117-120)</a> , <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325033">Курс высшей математики. Т.II. Изд. 14-е, исправл.(c. 38-39)</a> , <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325017">Обыкновенные дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления.(c. 108-114)</a> , <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325044">Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.(c. 73-75)</a> , <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325030">Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Изд. 6-е, исправл.(c. 104-107)</a> .) <br/> Полагают $y^{\text{'}}=p.$ Тогда на основании (1) имеем: $$y=p?x+?\left(p\right),y^{\text{'}}=p\left(3\right)$$ Поскольку $dy=y^{\text{'}}dx,$ с помощью (3) получаем: $$\left[x+{?}^{\text{'}}\left(p\right)\right]dp=0$$ — выражение, которое распадается на следующие два: $$dp=0\left(4\right)$$ и $$x+{?}^{\text{'}}\left(p\right)=0.\left(5\right)$$ Если $dp=0$ (см. (4)), то $p=C,$ где $C$ —- произвольная постоянная. Подставляя $p=C$ в первое из уравнений (3), приходим к общему решению (2) уравнения (1). <br/> Далее, на основании (5) и (3) имеем: $$x=-{?}^{\text{'}}\left(p\right),y=-p{?}^{\text{'}}\left(p\right)+?\left(p\right)\left(6\right)$$ — особое решение в параметрической форме ОДУ (1). <br/> (6) <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325024">Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Учебное пособие. Изд. 5-е, дополн.(c. 344-346)</a> , с. 360; <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325034">Курс дифференциальных уравнений. Изд. 8-е, стереотип.(c. 117-120)</a> ; <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325044">Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.(c. 73-75)</a> , 80. <br/> Н . М . Матвеев , с. 134, 360—361). $$y=y^{\text{'}}x-\sin y^{\text{'}}.$$ Общее решение: $y=Cx-\sin C.$ Особое решение: $y=x?\arccos x-\sqrt{1-x^2}.$ <br/> <b> Замечание </b> 1. $$ К уравнению Клеро приводят геометрические задачи, в которых требуется определить кривую по известному свойству ее касательной.
(См. примеры для астроиды и эллипса (гиперболы) в книгах: Курс высшей математики. Т.II. Изд. 14-е, исправл.(c. 38-39) и соответственно Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Учебное пособие. Изд. 5-е, дополн.(c. 134-135) ).
Замечание 2. $$ В зависимости от способа изучения свойств решений уравнения (1) на функцию $?$ (помимо нелинейности) накладываются требования: наличие первой производной ${?}^{\text{'}};$ существование второй производной ${?}^{\text{'}}\text{'}.$ <br/>