Риккати ОДУ общее

<b> Замечание </b> . $$ Уравнение (1) можно рассматривать как обобщение ОДУ первого порядка линейного: в случае $P\left(x\right)?0$ имеем ОДУ первого порядка линейное. При $R\left(x\right)?0$ получаем Бернулли ОДУ с показателем 2. <br/> В что в (1) $P\left(x\right)?0$ и $R\left(x\right)?0$ на рассматриваемом интервале. <br/> <p> $1^{?}.$ Абеля ОДУ первого и второго рода $$\frac{dy}{dx}=f_3\left(x\right)y^3+f_2\left(x\right)y^2+f_1\left(x\right)y+f_0\left(x\right),$$ $$\frac{dy}{dx}\left[g_1\left(x\right)y+g_0\left(x\right)\right]=f_2\left(x\right)y^2+f_1\left(x\right)y+f_0\left(x\right)$$ при $f_3=g_1=0$ и $g_0=1$ получаем уравнение (1). <br/> <p> $2^{?}.$ Пусть известно некоторое решение $y_1=y_1\left(x\right)$ уравнения (1). Заменой переменных $y=y_1+z,$ где $z=z\left(x\right)$ новая функция от переменной $x,$ уравнение (1) преобразуется в Бернулли ОДУ с показателем, равным 2, и искомой функцией $z,$ которое также заменой $z^{-1}=u,$ где $u=u\left(x\right)$ — новая функция от $x,$ приводится к ОДУ первого порядка линейному. <br/> В цитируемых справочниках приведены обширные списки уравнений вида (1) с указанием частных решений. Вот характерный пример (см. <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325012">Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям.(c. 66-66)</a> ): $$\frac{dy}{dx}=y^2+x?fy+f,$$ где $f=f\left(x\right)$ — непрерывная функция, $y_1=-1/x$ — частное решение указанного выше уравнения, для которого на основании формулы (2) можно получить и общее решение: $$P\left(x\right)?1,Q\left(x\right)?xf\left(x\right),R\left(x\right)?f\left(x\right),y_1\left(x\right)=-\frac{1}{x}.$$ <br/> <p> $3^{?}.$ <b> Теорема </b> . $$ ( В . В . Степанов , c. 48—50.) $$ Общее решение Риккати ОДУ общего есть дробно-линейная функция от произвольной постоянной.
Если общее решение уравнения есть дробно-линейная функция от произвольной постоянной, то соответствующее ОДУ есть Риккати ОДУ общее $$y=\frac{C{}_1\left(x\right)+{}_2\left(x\right)}{C{?}_1\left(x\right)+{?}_2\left(x\right)},$$ где $C$ — произвольная постоянная, — общее решение Риккати ОДУ общего. (См. так- же пп. а, б, в.) <br/> <p> $4^{?}.$ Риккати ОДУ специальное $$\frac{dy}{dx}+a{y}^2=b{x}^{?}.\left(6\right)$$ Если $?=0$ (см. (6)), то переменные разделяются; при $?=-2$ подстановкой $y=1/z$ получаем однородное уравнение: $z^{\text{'}}=a-b{\left(z/x\right)}^{2.}$ В дальнейшем считаем $??0$ и $??-2.$ Пусть ( <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325024">Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Учебное пособие. Изд. 5-е, дополн.(c. 87-92)</a> ) $$?=\frac{4k}{1-2k},k=\pm 1,\pm 2,\dots ,$$ откуда $$k=\frac{?}{2?+4}.\left(7\right)$$ Показано, что если выражение (7) является целым числам, то уравнение (6) интегрируется в элементарных функциях. <br/> О связи уравнения (6) с цилиндрическими функциями см., например, на с. 51 цитируемого справочника (см. п. $2^{?}$ данной статьи). <br/> <p> $5^{?}.$ ОДУ второго порядка линейное однородное $$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+p\left(x\right)\frac{dy}{dx}+q\left(x\right)y=0$$ подстановкой $y^{\text{'}}=zy,$ где $z=z\left(x\right)$ — новая функция от переменной $x,$ приводится к Риккати ОДУ общему $$z^{\text{'}}=-z^2-p\left(x\right)z-q\left(x\right).$$ $y=-\frac{1}{P\left(x\right)}?\frac{u^{\text{'}}}{u},$ $u=u\left(x\right)$ — новая функция от переменной $x,$ приводит Риккати ОДУ общее (1) к ОДУ второго порядка линейному однородному (использовали материал книги: <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325024">Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Учебное пособие. Изд. 5-е, дополн.(c. 80-92)</a> , 487—488). <br/> <p> $6^{?}.$ Риккати матричное уравнение ( <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325009">Уравнения Риккати.(c. 158-166)</a> и др.): $$\frac{dX}{dt}=P\left(t\right)+A\left(t\right)X+XB\left(t\right)+XR\left(t\right)X,$$ где $A\left(t\right),B\left(t\right),P\left(t\right),R\left(t\right)$ — заданные $n$ -квадратные матрицы, $X$ — искомая $n$ -квадратная матрица. Матрицы $P,A,B,R$ полагают определенными на некотором конечном или бесконечном интервале времени $t.$ <br/> В задачах дискретной оптимизации используется Риккати матричное рекуррентное уравнение. <br/> <p> $7^{?}.$ Риккати ОДУ обобщенное в данной работе суть ОДУ первого порядка вида $$\frac{dy}{dx}=P\left(x\right)y^{?}+Q\left(x\right)y+R\left(x\right),\left(8\right)$$ где $P,Q,R$ — непрерывные функции на некотором интервале $-?a<x<b?$ $?,$ $?$ — постоянная, принимающая вещественные значения. <br/> Если $R?0,$ имеем Бернулли ОДУ $\left(??0,1\right);$ <br/> при $?=0$ получаем ОДУ первого порядка линейное неоднородное; <br/> при $?=1$ — ОДУ первого порядка линейное неоднородное; <br/> при $?=2$ получаем Риккати ОДУ общее. <br/> Уравнение (8) по терминологии, принятой в справочнике <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325016">Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Пер. с немецк. С.В.Фомина. Изд. 2-е, перераб. и дополн.</a> $$y^{\text{'}}=f\left(x\right)y^n+g\left(x\right)y+h\left(x\right)$$ (см. с. 315—316 справочника). Приводятся соотношения для определения решения уравнения со ссылкой на работы M.Chini (1924, 1925 гг.). <br/> О других свойствах Риккати ОДУ общего как и специального, а также о применениях этих уравнений см. цитированную литературу. <br/>