Дарбу ОДУ первого порядка

Пусть имеет место замечание 1 (см. (3)). Рассматриваем Дарбу ОДУ в представле- нии (2) (см. <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325024">Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Учебное пособие. Изд. 5-е, дополн.(c. 73-74)</a> ). Положим $y=u\left(x\right)?x$ и, стало быть, $dy=xdu+udx.$ Выражение (2) преобразуется в следующее (учитывая $u=y/x)$ : $$x^k?M\left(1,u\right)dx+x^{k+1}?N\left(1,u\right)du+x^k?N\left(1,u\right)u?dx+x^{m+2}P\left(1,u\right)du=0.$$ Далее получаем: $$\frac{dx}{du}+\frac{N\left(1,u\right)}{M\left(1,u\right)+N\left(1,u\right)u}x+\frac{P\left(1,u\right)}{M\left(1,u\right)+N\left(1,u\right)u}{x}^{m+2-k}=0.\left(4\right)$$ Если $m+2-k?0,1$ или $m=k,$ то уравнение (4) является Бернулли ОДУ с искомой функцией $x$ от переменной $u.$ <br/> Если $m+2-k=0,$ т. е. $m=k-2,$ то уравнение (4) становится ОДУ первого порядка линейным неоднородным, а в случае $m+2-k=1,$ т. е. $m=k-1,$ — однородным. <br/> Заметим, что при $m+2-k>0$ функция $x=0$ — решение уравнения (4). Якоби ОДУ первого порядка: $$\left(A{x}^2+Bxy+ax+by+c\right)?\frac{dy}{dx}=\left(Axy+B{y}^2+?x+?y+?\right)$$ или $$\left(a_0+a_{1}x+a_{2}y\right)\left(xdy-ydx\right)+\left(b_0+b_{1}x+b_{2}y\right)dy+\left(c_0+c_{1}x+c_{2}y\right)dx=0,\left(5\right)$$ где все коэффициенты постоянные числа. <br/> Согласно (2) функции $M\left(x,y\right),$ $N\left(x,y\right)$ и $P\left(x,y\right)$ — целые многочлены относительно $x$ и $y$ (см. (2)). Поэтому, сопоставляя выражения (5) и (2), (1), констатируем, что Якоби ОДУ первого порядка — частный случай Дарбу ОДУ первого порядка. О дальнейшем по тематике данной статьи см. цитированную литературу, в частности о теоремах Дарбу в книге <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325006">Курс математического анализа. Т.2. Теория аналитических функций. Дифференциальные уравнения. Пер. с франц. проф. А.И.Некрасова / Под ред. Б.К.Млодзеевского. Просмотрен и переработан по пятому франц. изд. проф. В.В.Степановым. Изд. 3-е. (с.286-289)</a> . <br/>