Класс

- 1) Термин, употребляемый в математике в основном как синоним термина "множество" для обозначения произвольных совокупностей объектов, обладающих каким-либо определенным свойством или признаком (напр., в алгебре-классы эквивалентности относительно данного отношения эквивалентности). Иногда К. предпочитают наз. совокупности, элементами которых являются множества (напр., в рекурсивной теории - перечислимые классы). В некоторых случаях под влиянием аксиоматической теории множеств (см. п. 2) термин "К." применяется для того, чтобы подчеркнуть, что данная совокупность оказывается собственно К., а не множеством в узком смысле (напр., в алгебре - примитивные классы универсальных алгебр, называемые также многообразиями). Теоретико-множественные операции над К. определяются так же, как и над множествами. 2) К. в аксиоматической теории множеств (точнее, в аксиоматич. системе Гёделя - Бернайса) - один из видов исходных объектов, рассматриваемых в этих системах, причем различие между множествами и К. состоит в том, что элементами К. и множеств, рассматриваемых в данной теории, могут быть только множества, но не классы. Идея введения так понимаемых К. в теорию множеств принадлежит Дж. Нейману (J. Neumann) и основывается на его замечании, что известные противоречия канторовской теории множеств возникают не из-за допущения образования очень больших множеств, а из-за того, что таким множествам разрешается быть элементами других множеств. Кроме указанного ограничения, в названных аксиоматич. системах допускаются все обычные теоретико-множественные операции над К., приводящие к К., а не к множествам; к тому же для всякого в нек-ром смысле допустимого предиката, определенного на множествах, существует К., состоящий в точности из множеств, удовлетворяющих рассматриваемому предикату. Доказано, что непротиворечивость каждой из систем Гёделя - Бернайса и Цермело - Френкеля следует из непротиворечивости другой (чем подтверждается точка зрения Дж. Неймана). См. также Аксиоматическая теория множеств.